증가와 감소, 극대와 극소 — 도함수의 부호로 그래프를 읽는다

수2 미적분 입문 · 5장

증가와 감소,
극대와 극소

도함수의 부호 하나로 그래프의 오르내림이 정해집니다. 부호가 뒤집히는 자리를 찾는 것이 오늘의 전부입니다.

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접점을 왼쪽 끝에서 오른쪽으로 천천히 끌어 보세요. 접선이 오른쪽 위를 향할 때와 아래를 향할 때, 곡선이 어느 쪽으로 가는지 함께 봅니다.

그림 아래 한 줄의 f′(a) 값만 보지 말고 부호를 보세요. 값이 크든 작든, 양수인 동안은 계속 오르고 음수인 동안은 계속 내립니다 — 크기가 아니라 부호가 방향을 정합니다.

📘 미분계수와 도함수📐 다항함수의 도함수

접선이 수평이 되는 두 자리를 직접 찾아보세요. f(x) = x³ − 3x 에서는 a = −1 과 a = 1 입니다.

수평이 된 순간 아래 문장이 “이 자리가 극값입니다” 로 바뀝니다. 그런데 이 문장이 뜬다고 늘 극값인 것은 아닙니다 — 좌우에서 부호가 실제로 뒤집혔는지를 함께 봐야 합니다.

📘 증가와 감소, 극대와 극소📐 극값의 필요조건

화면에서 본 것을 시험지에 쓰는 방법입니다. f′(x) = 0 의 해로 수직선을 토막 내고, 각 토막의 부호만 조사합니다.

1도함수를 인수분해한다. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x + 1)(x − 1) — 부호를 보려면 인수 꼴이 편하다.
2해로 토막 낸다. x = −1, 1 이 경계이므로 수직선이 세 토막이 된다.
3각 토막에 아무 수나 넣는다. f′(−2) = 9 (+), f′(0) = −3 (−), f′(2) = 9 (+). 정확한 값은 필요 없고 부호만 본다.

부호가 정해지면 화살표가 정해집니다 — + 는 ↗, − 는 ↘. 화살표가 꺾이는 자리에 극대·극소를 적고, 그 칸에 함숫값을 써 넣으면 증감표가 끝납니다.

📘 증감표📐 f′(x) = 0 의 해

계산은 맞는데 답이 틀리는 지점들입니다. 셋 다 “조건을 하나 더 확인했는가”로 갈립니다.

반례f′(a) = 0 이라고 극값은 아니다. f(x) = x³ 은 f′(0) = 0 이지만 f′(x) = 3x² 이 좌우에서 모두 양수다 — 부호가 뒤집히지 않으니 극값이 아니고, 잠시 평평해졌다 계속 오른다.
최댓값극값과 최댓값은 다르다. 극값은 그 근처에서만 가장 크고, 최댓값은 구간 전체에서 가장 크다. 닫힌구간 문제라면 양 끝점의 함숫값도 반드시 비교한다.
조건삼차함수가 극값을 가질 조건. f′(x) = 0 이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 > 0. “극값을 갖지 않을 조건”이면 반대로 판별식 ≤ 0 이고, 등호를 빠뜨리기 쉽다.

셋을 한 문장으로 묶으면 이렇습니다 — f′(a) = 0 은 출발점일 뿐이고, 부호가 뒤집혔는지·구간의 끝은 어디인지·등호가 들어가는지를 확인해야 답이 완성됩니다.

📘 최대·최소와 속도·가속도📐 판별식🔬 접선 미끄러지기