탐구 · 동아리 발표 · 10분

e 는
어디서 왔나

이자 계산에서 나온 2.718… 이 미분과 원 둘레에서 다시 나타납니다. 세 얼굴이 한 식 (1 + x/n)ⁿ 이라는 것을 그림으로 봅니다.

  1. 1683년, 이자를 자주 붙이면
  2. 기울기가 제 높이와 같은 곡선
  3. 허수만큼 붙이면 원을 돈다
  4. 세 얼굴은 한 식이다
  5. 아직 아무도 모르는 것
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1 · 역사

1683년,
이자를 자주 붙이면

(1 + 1/n)ⁿ

n 번 붙이면 1년 뒤

1 원을 연 100% 로. 1년에 한 번 붙이면 2 원.

반년마다 50% 씩 두 번이면 2.25 원. 둘째 걸음이 더 깁니다.

매달 붙이면 2.6130… 원.

매일 붙여도 넘지 못하는 벽이 있습니다. e = 2.71828…

2 · 장면

기울기가
제 높이와 같은 곡선

밑 b 기울기 ÷ 높이

곡선 위의 점 P 를 좌우로 끌어 보세요.

y = 2ˣ 에서 기울기 ÷ 높이는 어디서나 0.693….

밑을 3 으로 바꾸면 그 비가 1.098…. 비가 1 인 밑은 2 와 3 사이에 있습니다.

밑이 e 면 비가 정확히 1. 기울기가 제 높이와 같습니다.

3 · 장면

허수만큼 이자를 붙이면
원을 돈다

(1 + iπ/n)ⁿ

n 걸음 도착점

허수 iπ/n 를 이자로 붙이면 걸음마다 조금씩 돕니다.

n = 16. 길이 원에 다가오지만 아직 바깥으로 부풀어 −1.35 근처에 닿습니다.

n = 128. 반원을 돌아 도착점이 −1 에 붙습니다.

4 · 왜 그런가

세 얼굴은
한 식이다

x 도착점

x = 1 이면 곧게 가서 e. 1장의 이자입니다.

x = iπ/2 면 사분원을 돌아 i.

x = iπ 면 반원을 돌아 −1. 3장의 길입니다.

그래서 eiπ + 1 = 0. 실수면 불어나고, 허수면 돕니다.

5 · 더 가면

아직 아무도 모르는 것

누르면 짧은 설명이 열립니다. 발표 끝에 청중에게 하나를 골라 물어보세요.

1e 는 어떤 수인가무리수(오일러, 1737)이고 초월수(에르미트, 1873)입니다. 계수가 정수인 다항방정식의 해가 아닙니다.
2e + π 는 무리수일까e + π 와 eπ 중 적어도 하나는 무리수입니다. 어느 쪽인지는 아직 아무도 모릅니다.
3얼마나 모자랄까(1 + 1/n)ⁿ 은 늘 e 보다 작고, n 이 커질수록 모자란 양이 e/(2n) 에 가까워집니다. n = 10 이면 2.5937… 로 0.12 쯤.
다음 장
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