미적분Ⅰ 속도와 가속도 · 인터랙티브 수업
수직선 위를 오가는 점 하나의 위치 x(t) = t³ − 6t² + 9t. 그 그래프의 기울기에서 속도를, 속도의 기울기에서 가속도를 꺼냅니다.
1 · 평균에서 순간으로
Q 를 곡선 위에서 끌어 Δt 를 바꿔 보세요.
P 에서 Q 까지 1 초. 두 점을 잇는 선의 기울기가 평균 속도 4.
Δt 를 0.5 로 줄이면 평균 속도는 6.25.
Δt = 0.1. 평균 속도 8.41. Q 가 P 에 거의 붙었습니다.
Δt → 0 이면 할선이 접선이 됩니다. 순간 속도 v = x′(t), t = 0 에서 9.
2 · 속도 그래프
t = 0 의 접선 기울기 9 를 속도 판에 점 하나로 옮깁니다.
t 가 흐르면 접선이 구르고, 그 기울기가 자취로 쌓입니다.
자취가 곧 x′(t). v(t) = 3t² − 12t + 9.
3 · 되돌아가는 순간
v(t) = 3(t − 1)(t − 3)
방향 · 속력
속도가 양수면 P 는 앞으로(+). 화살표가 위를 향합니다.
t = 1 에서 v = 0. P 가 꼭대기에서 되돌아갑니다. 위치의 극대.
속도가 음수인 동안 P 는 뒤로(−). t = 2 에서 속력 3.
t = 3 에서 다시 v = 0. P 는 원점에서 또 방향을 바꿉니다.
4 · 가속도
속도 곡선의 접선 기울기가 가속도. t = 0 에서 −12.
기울기를 모으면 가속도 그래프. a(t) = 6t − 12, 직선입니다.
t = 2 에서 a = 0. 속도가 가장 작은 순간, 뒤로는 가장 빠른 순간입니다.
v 와 a 의 부호가 다르면 느려진다. 같으면 빨라집니다.
5 · 확인
점 P 의 위치 x(t) = t³ − 6t² + 9t (0 ≤ t ≤ 4). 누르면 답이 열리고 오른쪽 그림이 그 자리로 갑니다.