단위원 — sin과 cos은 어디서 오는가

수1 삼각함수 · 5장

단위원 — sin과 cos은 어디서 오는가

반지름이 1인 원 위의 점 하나. 그 점의 좌표가 곧 cos과 sin입니다. 오늘은 값을 외우지 않고 찾아냅니다.

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sin과 cos은 원 위 한 점의 좌표다

점을 끌어 각을 바꿔 보세요. 두 변의 길이가 바로 cos과 sin입니다.

무엇을 보고 있는가

cos가로 방향. 점의 x 좌표다. 원점에서 옆으로 얼마나 갔는가.
sin세로 방향. 점의 y 좌표다. 거기서 위로 얼마나 올랐는가.
1빗변. 반지름이라 각이 어떻든 언제나 1 이다.

아래 한 줄의 sin²θ + cos²θ 가 늘 1.000 으로 남습니다 — 피타고라스 정리를 반지름 1 인 원에 적은 것이 삼각함수의 기본 관계입니다.

이렇게 해 보세요

130° 로 끌어 보세요. 딱 붙으면서 √3/2 와 1/2 가 나옵니다.
245° 에서는 가로와 세로가 같아 두 값이 √2/2 로 같아집니다.
360° 로 옮기면 30°의 두 값이 서로 뒤바뀝니다. 왜 그런지 그림에서 찾아보세요.

📐 삼각함수의 기본 관계📘 삼각비

부호는 외우는 것이 아니라 보는 것

점을 왼쪽으로, 아래로 끌어 보세요. 좌표의 부호가 그대로 값의 부호입니다.

사분면마다 무엇이 음수인가

2제2사분면. 점이 왼쪽에 있으니 cos < 0, 위에 있으니 sin > 0.
3제3사분면. 왼쪽 아래라 cos·sin 모두 음수. tan 은 음수 ÷ 음수라 양수다.
4제4사분면. 오른쪽 아래 — cos > 0, sin < 0.

부호를 따로 외울 필요가 없습니다. 왼쪽이면 cos 이 음수, 아래면 sin 이 음수 — 점이 어디 있는지만 보면 됩니다.

이렇게 해 보세요

1120° 로 — cos 만 음수가 됩니다.
2210° 로 — 둘 다 음수인데 tan 은 다시 양수입니다.
3300° 로 — sin 만 음수입니다. 세 자리를 오가며 표를 그려 보세요.

📘 삼각함수의 정의

90°에서 tan이 사라지는 이유

각을 90°로 맞춰 보세요. tan 값이 커지는 것이 아니라 아예 사라집니다.

왜 정의되지 않는가

tansin ÷ cos. 두 좌표의 나눗셈이라 분모가 0 이면 값을 정할 수 없다.
cos90°에서 0. 점이 세로축 위에 올라 x 좌표가 0 이 된다.
0나눌 수 없는 수. 그래서 "무한대"가 아니라 "정의되지 않음"이다.

89° 에서 tan 은 약 57, 91° 에서는 약 −57 입니다. 0 을 사이에 두고 부호가 뒤집히며 지나가는 것이지, 한 값으로 이어지지 않습니다.

이렇게 해 보세요

1슬라이더로 89° → 90° → 91° 를 한 칸씩 지나가 보세요.
2270° 에서도 같은 일이 일어납니다. 왜인지 좌표로 설명해 보세요.
30° 와 180° 에서는 반대로 tan 이 0 입니다. 무엇이 0 이 되었을까요.

📐 삼각함수의 기본 관계

정리 — 외우지 말고 찾아라

오늘 만진 것을 세 줄로 줄이면 이렇습니다.

특수각은 삼각형 두 개에서 나온다

30·60한 변이 1, 다른 변이 √3, 빗변이 2 인 직각삼각형. 그래서 값이 1/2 과 √3/2 다.
45두 변의 길이가 같은 직각삼각형. 빗변이 √2 라 두 값 모두 √2/2 다.
0·90점이 (1, 0) 과 (0, 1) 에 있다. 좌표를 그대로 읽으면 끝이다.

시험은 값 자체보다 어느 사분면인지, 부호가 무엇인지, 어느 각과 짝인지를 묻습니다. 단위원 하나를 그려 두면 세 가지가 한 번에 풀립니다.

확인해 봅시다

1sin 150° 는? (150°는 30°와 sin 이 같습니다)
2cos 240° 는? (제3사분면 — 부호부터 정하세요)
3tan 315° 는? (sin 과 cos 의 절댓값이 같은 자리입니다)

📐 삼각함수의 기본 관계📘 삼각비🔬 단위원 시계

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