수2 미분 · 인터랙티브 수업
할선의 한쪽 끝을 다른 끝으로 밀어 붙이면 접선이 됩니다. 그 기울기가 미분계수이고, 점마다 모으면 도함수입니다.
1 · 평균변화율
곡선 y = x² 위의 두 점 P(1, 1) 와 Q. 파란 점 Q 를 끌어 보세요.
가로로 Δx = , 세로로 Δy = 만큼 갔습니다.
Δy / Δx =
두 점을 잇는 직선의 기울기. 이것이 평균변화율입니다.
2 · 좁히기
가로로 간 거리 Δx 를 h 라고 부릅니다. h 를 줄이면 할선이 P 를 축으로 돌아갑니다.
| h | 2 | 1 | 0.5 | 0.1 |
|---|---|---|---|---|
| 기울기 | 4 | 3 | 2.5 | 2.1 |
h 가 작아질수록 기울기는 2 에 가까워집니다.
3 · 극한
h = , 기울기
h 가 음수면 Q 가 왼쪽에 섭니다. 기울기 1.5, 1.9, 1.99. 왼쪽에서도 같은 2 를 향합니다.
h = 0 을 그대로 넣으면 0 / 0. 점이 하나뿐이라 직선이 정해지지 않습니다.
f′(1) = limh→0f(1 + h) − f(1)h = 2
다가가는 값 2 가 P 에서 곡선에 스치는 직선, 접선의 기울기입니다. 이것을 미분계수라고 합니다.
4 · 미분계수
노란 점 P 를 끌어 보세요. 접선이 따라갑니다.
f′() =
오른쪽으로 갈수록 가팔라집니다.
꼭짓점에서는 접선이 눕습니다. f′(0) = 0.
왼쪽은 내려가는 접선이라 음수. 어디서든 a 의 두 배, f′(a) = 2a.
5 · 도함수
P 가 곡선을 쓸고 가는 동안 아래 판에 그 자리의 기울기가 점으로 쌓입니다.
f′() =
점들은 직선 y = 2x 위에 있습니다. x 를 넣으면 그 자리의 기울기를 돌려주는 함수, 이것이 도함수 f′(x) 입니다.
6 · 다른 곡선
위의 곡선을 바꾸면 아래 판도 따라 바뀝니다.
f′() =
x² 은 2x, x³ 은 3x². 지수가 앞으로 내려오고 하나 줄어듭니다.
(xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹
7 · 확인
누르면 그림이 그 문제로 바뀝니다.