수1 지수함수와 로그함수 · 인터랙티브 수업
두 배씩 자라는 곡선 y = 2ˣ 을 접으면 로그함수가 됩니다. 로그는 「몇 번 곱했나」를 세는 함수이고, 그래서 곱셈을 덧셈으로 바꿉니다.
1 · 더하기와 곱하기
한 칸마다 두 배. 1, 2, 4, 8, 16.
한 칸마다 2 를 더하면 2, 4, 6, 8, 10. x = 3 부터 곱하기가 앞서고, x = 10 이면 20 과 1024 입니다.
막대 끝을 이으면 곡선. x 가 지수 자리에 있는 함수, 지수함수입니다.
y = 2ˣ
2 · 왼쪽으로 가면 절반
오른쪽으로 한 칸이 두 배라면, 왼쪽으로 한 칸은 절반입니다.
2⁰ = 1, 2⁻¹ = 1/2, 2⁻³ = 1/8. 절반의 절반이라 0 에 닿지 않습니다.
칸 사이도 채워집니다. 반 칸을 두 번 가면 두 배이니 2^(1/2) = √2.
3 · 밑을 바꾸면
어느 밑이든 곡선은 (0, 1) 을 지납니다. 0 번 곱하면 1 이니까요.
밑이 3 이면 더 가파릅니다.
밑이 1/2 이면 2ˣ 을 y축에 비춘 모양. 오른쪽으로 갈수록 줄어듭니다.
밑이 1 이면 몇 번 곱해도 1. 곡선이 수평선으로 눕습니다. 그래서 밑은 1 이 아닌 양수로 정합니다.
4 · 거꾸로 묻는다
2 를 몇 번 곱하면 8 이 될까요? 높이에서 곡선으로, 곡선에서 아래로.
1/4 이면 −2. 로그는 음수도 됩니다.
5 이면 2 와 3 사이. 정수가 아니어도 곡선이 답을 줍니다. log₂5 는 그 수의 이름입니다.
5 · 접으면 로그함수
x 와 y 를 맞바꾸면 그래프는 y = x 를 축으로 접힙니다.
접힌 곡선이 y = log₂x. 지수함수의 역함수입니다.
(3, 8) 은 (8, 3) 으로. 바닥의 점근선은 벽이 되어, 로그는 x > 0 에서만 있고 (1, 0) 을 지납니다.
6 · 곱셈이 덧셈으로
x = 2, 4, 8 의 높이는 1, 2, 3. 2 를 곱한 횟수입니다.
2 × 4 = 8 이고, 높이는 1 + 2 = 3.
두 막대를 쌓으면 x = 8 의 높이와 딱 맞습니다.
log₂(MN) = log₂M + log₂N
7 · 로그 눈금
1, 2, 4, 8 을 같은 간격으로 놓으면 로그 곡선이 곧게 펴집니다.
× 2 는 한 칸, × 4 는 두 칸. 이어 붙이면 세 칸, 8. 곱셈이 길이의 덧셈입니다.
계산자가 이렇게 곱했고, 지진 규모 · 데시벨 · pH 가 이 눈금입니다.