수2 적분 · 인터랙티브 수업
곡선 아래를 직사각형으로 채우고 막대를 끝없이 가늘게 만듭니다. 그 넓이를 함수로 보면 미분과 하나로 이어집니다.
1 · 위아래로 막기
곡선 y = x² 아래, x = 0 부터 2 까지. 이 넓이를 직사각형만으로 잴 수 있을까요?
오른쪽 끝 높이로 덮으면 2 × 4 = 8. 다 덮였으니 넓이는 8 보다 작습니다.
왼쪽 끝 높이로 깔면 높이가 0 이라 0. 넓이는 0 보다 큽니다.
2 · 잘게 쪼개기
| n | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| 위 | 8 | 5 | 3.75 | 3.1875 |
| 아래 | 0 | 1 | 1.75 | 2.1875 |
진짜 넓이는 늘 아래 합과 위 합 사이에 끼어 있습니다.
위는 내려오고 아래는 올라옵니다. 두 합의 차는 8, 4, 2, 1. 쪼갤 때마다 절반입니다.
3 · 남는 조각 모으기
n = 위 아래
위 합에서 아래 합을 빼면 장미색 조각이 남습니다.
조각을 오른쪽으로 밀면 높이가 맞물려 기둥 하나가 됩니다. 높이 4, 폭은 막대 하나의 폭. 차는 .
더 쪼개도 기둥의 높이는 4 그대로. 폭만 줄어듭니다.
폭이 0 으로 가면 두 합이 한 수로 모입니다. 그 수가 넓이, 정적분입니다.
∫₀² x² dx = 8/3
4 · 넓이 함수
0 부터 x 까지 쌓인 넓이를 S(x) 라고 합시다. 노란 점을 끌어 보세요.
S() =
점들을 이으면 S(x) = x³/3. x = 2 에서 앞 장의 8/3 이 나옵니다.
5 · 미적분의 기본정리
x 에서 h 만큼 더 가면 넓이는 얼마나 늘까요?
늘어난 띠는 거의 직사각형. ΔS ≈ f(x) × h. 아래 판에서는 S 가 그만큼 오릅니다.
위 판의 높이 f() = 가 그대로 아래 판의 접선 기울기입니다.
S′(x) = f(x)
6 · F(b) − F(a)
위 판의 넓이는 아래 판의 높이 차입니다.
1 부터 2 까지는 S(2) − S(1) = 8/3 − 1/3 = 7/3.
곡선을 위로 옮겨도 차는 그대로. 미분해서 f 가 되는 아무 F 나 쓰면 됩니다.
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
7 · x축 아래
곡선이 x축 아래로 내려가면 어떻게 될까요?
높이가 음수라 쌓이는 양도 음수. 정적분은 위 4/3 에서 아래 2/3 을 뺀 2/3.
f 가 0 이 되는 x = 1 에서 S 가 가장 낮습니다. S′ = f 라서, f 의 부호가 바뀌는 자리가 S 의 극소입니다.
∫₀² (x² − 1) dx = 2/3
8 · 확인
누르면 그림이 그 문제로 바뀝니다.