확률과통계

중복순열

_{n} Π_{r} = n^{r}

같은 것을 몇 번이고 다시 골라도 될 때의 나열이다. 순열은 한 번 쓴 것이 빠지면서 가짓수가 하나씩 줄어들지만, 중복순열은 자리마다 늘 같은 가짓수가 남는다. 그 차이 하나가 곱셈식의 모양을 통째로 바꾼다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

첫 자리에서 셋으로 갈리고, 중복을 허락하므로 둘째 자리에서도 다시 셋으로 갈린다. 순열이라면 둘째 층의 가지가 둘로 줄어든다. 끝 가지가 3 곱하기 3 으로 아홉이고, 자리가 r 개면 같은 일이 r 번 되풀이되어 n 의 r 제곱이 된다.

n

자리 r 개를 왼쪽부터 채워 간다. 첫 자리에 올 수 있는 것은 서로 다른 n 개 모두이므로 n 가지다.

1 / 4 단계

외우지 않아도 된다

중복을 허락하면 한 번 쓴 것이 빠지지 않아 자리마다 가짓수가 그대로이기 때문이다.

자리를 r 칸 그려 놓고 칸마다 몇 가지가 올 수 있는지 적어 본다. 중복이 되니 전부 n 이다. 곱하면 n 의 r 제곱이다. 순열은 같은 그림에서 숫자가 하나씩 줄어든다.

문제. 0 부터 9 까지의 숫자로 만드는 네 자리 비밀번호는 몇 가지인가?

답. 10000가지

자리마다 숫자 10 개를 모두 쓸 수 있고 같은 숫자를 다시 써도 되므로 10 의 4 제곱으로 10000 가지다. 같은 숫자를 못 쓴다면 10 곱하기 9 곱하기 8 곱하기 7 로 5040 가지가 된다.