📐 공식 사전
🧠 무엇을 외우고 무엇을 되살릴지 먼저 가르고 싶다면 →
공식을 외우는 대신 어디서 왔는지 따라가 봅니다. 각 공식마다 무엇에 쓰는 공식인지와 어디까지 학습하면 되는지를 먼저 밝히고, 유도 스테퍼·흔한 실수·예제를 지나 인물 이야기·생활 속 쓰임·학습 단원으로 이어집니다.
수와연산
속력·거리·시간
속력은 "같은 시간에 얼마나 갔는가"를 재는 비율이다. 거리·시간·속력 셋 중 둘을 알면 나머지 하나가 정해지므로, 하나의 관계식을 세 가지 물음에 돌려 쓴다.
로그의 성질
로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 장치다. 계산기가 없던 시절 천문학자들의 계산 시간을 몇 분의 일로 줄여 준 도구이며, 지금도 지진 규모나 소리 크기처럼 아주 넓은 범위의 수를 다룰 때 쓰인다.
등차수열의 합
1부터 100까지 더하는 일을 하나씩 하지 않고 한 번에 끝내는 방법이다. 앞과 뒤를 짝지으면 같은 값이 반복된다는 발견 하나로 덧셈이 곱셈이 된다.
등비수열의 합
일정한 비율로 커지는 수들의 합이다. 복리 이자·감염 확산·저장 용량처럼 "배로 늘어나는" 현상은 모두 이 식으로 계산된다.
등차수열의 일반항
등차수열은 같은 수 d 를 계속 더해 만든 수열이다. 첫 항에서 n 번째 항까지 가려면 그 더하기를 n 번이 아니라 n − 1 번 한다. 일반항에 n − 1 이 나오는 이유는 그것뿐이다.
등비수열의 일반항
등비수열은 같은 수 r 을 계속 곱해 만든 수열이다. 등차수열에서 더하기가 곱하기로 바뀐 것뿐이라 걸음 수는 그대로 n − 1 이고, 그 걸음 수가 지수 자리로 내려앉는다.
등차중항
세 수가 이 순서로 등차수열을 이루면 가운데 수는 양옆의 평균이다. 공차를 구하지 않고도 가운데 항이 바로 나오고, 거꾸로 세 수가 등차수열인지 판정할 때도 같은 식을 쓴다.
등비중항
등차중항이 평균이었다면 등비중항은 곱이다. 세 수가 이 순서로 등비수열을 이루면 가운데 수의 제곱이 양옆의 곱과 같다. 다만 제곱을 벗기는 자리에서 부호가 둘로 갈린다.
시그마 공식
시그마는 "1부터 n 까지 차례로 더하라"는 명령을 기호 하나로 줄인 것이다. k, k², k³ 의 합에는 매번 더하지 않아도 되는 닫힌 공식이 있고, 이 셋만 손에 있으면 대부분의 합 문제는 대입으로 끝난다.
합에서 일반항 찾기
수열의 합을 먼저 알려 주고 항을 묻는 문제가 있다. 합은 항을 첫째부터 차례로 쌓아 올린 것이므로, 한 칸 앞의 합을 빼면 마지막에 올린 항 하나만 남는다. 첫 항만은 뺄 상대가 없어 따로 읽어야 하고, 이 자리가 시험에서 가장 자주 갈리는 곳이다.
부분분수로 쪼개는 합
분수가 줄줄이 늘어선 합은 거듭제곱의 합 공식으로는 닿지 않는다. 대신 일반항을 두 분수의 차로 쪼개면 이웃한 항끼리 부호만 반대로 겹쳐 가운데가 통째로 사라진다. 망원경이 접히는 모양이라 망원급수라 부른다.
순환소수를 분수로 고치기
순환소수를 분수로 고치는 규칙은 분모에 9 를 몇 개 쓰느냐로 외우기 쉽다. 그런데 그 9 는 규칙이 아니라 뺄셈의 결과다. 순환마디 길이만큼 10 을 곱해 빼면 무한히 이어지던 소수 부분이 통째로 사라진다.
제곱근의 성질
근호를 벗길 때 절댓값이 붙는 것은 규칙이 하나 더 늘어난 것이 아니라 제곱근의 약속을 지킨 결과다. √ 는 제곱해서 그 수가 되는 값 가운데 음이 아닌 쪽을 가리키기로 약속했다. 그래서 a 가 음수이면 √(a²) 는 a 가 아니라 −a 다. 음수 앞의 빼기가 값을 양수로 만든다.
유리수 지수
지수가 자연수일 때 거듭제곱은 같은 수를 몇 번 곱하는지를 뜻했다. 그러면 지수가 2/3 이라는 것은 무슨 뜻인가. 답은 뜻을 새로 지어내는 것이 아니라 지수법칙이 깨지지 않도록 값을 정하는 것이다. 그렇게 하면 분수 지수는 거듭제곱근이 될 수밖에 없다.
약수의 개수
약수를 하나씩 세어 보는 대신, 소인수분해 한 줄에서 개수를 바로 읽는 방법이 있다. N = aᵐbⁿ 으로 분해했을 때 약수는 소인수를 몇 개씩 가져갈지 고른 결과이고, 고르는 방법의 수가 곧 약수의 개수다. 세는 문제가 곱셈 문제로 바뀌는 첫 경험이다.
분수의 나눗셈은 역수의 곱
초등 수학에서 가장 많이 나오는 "왜 그런가"다. 나누는 분수를 왜 뒤집어 곱하는지 답하지 못한 채 규칙만 외우면, 뒤집는 쪽을 헷갈리는 순간 손쓸 방법이 없다. 뒤집은 분수는 곱해서 1 이 되는 짝이고, 나눗셈을 곱셈으로 바꿔 주는 것이 바로 그 성질이다.
나눗셈의 검산
나눗셈은 덜어 내는 일이다. a 에서 b 를 몇 번 덜어 낼 수 있는지가 몫이고, 더는 덜어 낼 수 없어 남은 것이 나머지다. 그래서 덜어 낸 것과 남은 것을 도로 합치면 처음 수가 돌아온다. 검산식은 이 당연한 사실을 적은 것이고, 나머지가 나누는 수보다 작아야 하는 이유도 여기서 나온다.
음수 곱셈의 부호 규칙
음수끼리 곱하면 왜 양수가 되는지는 중1 에서 가장 많이 나오는 질문이다. 누가 그렇게 정했기 때문이 아니다. 지금까지 쓰던 분배법칙이 음수에서도 깨지지 않으려면 그 값일 수밖에 없다. 규칙을 외우는 자리가 아니라 규칙이 왜 그 값이어야 하는지 따라가는 자리다.
최대공약수 × 최소공배수
두 수의 최대공약수와 최소공배수를 곱하면 원래 두 수의 곱이 된다. 우연이 아니라 두 수가 공통부분과 나머지로 정확히 갈리기 때문이다. 이 관계를 알면 한쪽을 구했을 때 다른 쪽을 나눗셈 한 번으로 얻는다.
근호의 곱과 나눗셈
근호는 곱셈과 나눗셈을 그대로 통과한다. 따로 놓인 두 근호를 하나로 묶을 수도 있고, 묶인 것을 갈라낼 수도 있다. 이 성질이 없으면 √12 를 2√3 으로 고칠 수도, 분모를 유리화할 수도 없다. 근호를 다루는 거의 모든 계산이 이 한 줄에서 나온다. 덧셈에서는 성립하지 않는다는 것까지 함께 외워야 한다.
분수의 곱셈
분수끼리 더할 때는 통분을 먼저 해야 하는데 곱할 때는 그럴 필요가 없다. 규칙이 달라서가 아니라 하는 일이 다르기 때문이다. 곱셈은 조각의 크기를 맞추는 일이 아니라 전체를 두 방향으로 나누어 더 작은 조각을 새로 만드는 일이고, 그 조각이 몇 개인지를 세면 분자끼리 · 분모끼리 곱한 값이 그대로 나온다.
비례식의 성질
비례식은 비율이 같은 두 비를 등호로 묶은 식이다. 모르는 항을 구할 때 대각선끼리 곱해 같다고 놓는 방법을 쓰는데, 이것은 새로 외우는 규칙이 아니라 분수식의 양변에 분모를 곱한 결과다. 닮음비와 축척, 평행선이 나누는 길이의 비까지 이 한 줄로 푼다.
복소수의 곱셈과 나눗셈
복소수의 덧셈과 뺄셈은 실수부분끼리, 허수부분끼리 따로 하면 끝난다. 새로운 것은 곱셈부터다. 괄호를 전개하는 것까지는 실수에서 하던 그대로인데, 마지막에 i² 가 −1 로 바뀌면서 항 하나가 허수부분에서 실수부분으로 건너온다. 나눗셈은 그 곱셈을 한 번 더 쓰는 일이다. 켤레를 분모와 분자에 곱하면 분모가 실수가 되어 결과를 다시 a + bi 꼴로 적을 수 있다.
i 의 거듭제곱
i 를 거듭제곱해 가면 i, −1, −i, 1 네 값이 끝없이 되풀이된다. 네 번마다 제자리로 오므로 지수가 아무리 커도 4 로 나눈 나머지만 보면 값이 정해진다. i의 2026 제곱 같은 식은 겁먹을 자리가 아니라 나눗셈 한 번으로 끝나는 자리다.
음수의 제곱근의 곱
중3 의 근호의 곱과 나눗셈 편은 √a √b = √(ab) 를 a 와 b 가 양수라는 조건 아래에서만 세웠다. 실수 범위에서는 근호 안이 음수이면 값 자체가 없었기 때문이다. 복소수를 배우고 나면 그 자리에 값이 생기는데, 이때는 규칙이 뒤집힌다. i 가 두 개 나와 i² = −1 이 부호를 한 번 바꾸기 때문이다. 근호의 곱셈에서 비어 있던 반쪽이 여기서 채워진다.
거듭제곱근의 성질
근호의 성질을 지표가 n 인 경우로 넓히는 자리다. 새로 외울 것은 없다. 거듭제곱근을 유리수 지수로 갈아입히면 전부 이미 아는 지수법칙이고, 계산이 끝난 뒤 다시 근호로 되돌리면 된다.
분모의 유리화
분모에 근호가 남아 있으면 크기를 가늠하기 어렵고 계산도 이어지지 않는다. 근호를 분자로 올리는 일이 유리화이고 방법은 하나다. 곱해서 근호가 사라지는 것을 위아래에 함께 곱한다. 분모가 한 항이면 자기 자신을, 두 항이면 부호만 바꾼 짝을 곱한다.
문자와식
곱셈 공식
곱셈 공식은 전개를 빨리 하려고 외우는 요령이 아니라, 반대로 거슬러 올라가 인수분해를 하기 위한 지도다. 전개와 인수분해는 같은 식을 양방향으로 오가는 한 쌍이다. 이 편은 두 항의 제곱을 맡고, 합차 공식과 (x+a)(x+b) 의 전개는 각각 다음 편에서 이어진다.
합차 공식
합차 공식은 가운데 항이 사라지는 단 하나의 곱셈 공식이다. 분배법칙으로 펼치면 ab 가 부호만 다른 채로 두 번 나와 서로 지워진다. 그래서 제곱의 차는 언제나 합과 차의 곱으로 되돌릴 수 있다.
(x+a)(x+b) 의 전개
이 공식은 이차식의 일차항과 상수항이 어디서 오는지 알려 준다. 일차항의 계수는 두 수의 합이고 상수항은 두 수의 곱이다. 인수분해에서 더해서 얼마, 곱해서 얼마인 두 수를 찾는 일이 바로 여기서 나온다.
세제곱의 전개
세제곱의 전개는 새 공식이 아니라 제곱 공식에 (a+b) 를 한 번 더 곱한 결과다. 가운데 두 항의 계수가 3 인 것도 그 곱셈에서 같은 항이 세 번씩 모이기 때문이다. 3 을 외우는 대신 어디서 모였는지 보는 편이 낫다.
세제곱의 합과 차
세제곱의 합은 합차 공식처럼 중간 항이 지워지는 구조를 쓴다. (a+b) 에 알맞은 이차식을 곱하면 가운데 항들이 모두 상쇄되고 a³ 과 b³ 만 남는다. 가운데 항이 지워지는 구조로 삼차식을 인수분해하는 대표 공식이다.
곱셈 공식의 변형
변형은 새 공식이 아니라 이미 아는 공식을 다른 문자에 대해 푼 것이다. 두 수의 합과 곱만 알려 주고 제곱의 합을 묻는 문제가 이 꼴을 쓴다. 두 수를 직접 구하지 않고도 답이 나오는 것이 이 변형의 값이다.
세 항의 제곱
항이 셋이어도 새 공식이 필요하지 않다. 앞의 두 항을 한 덩어리로 묶으면 이미 아는 두 항의 제곱이 된다. 덩어리로 보는 이 치환은 항이 늘어날 때마다 그대로 쓰이는 요령이다.
세 수의 세제곱의 합
문자가 셋이라 새로 외울 공식처럼 보이지만, 둘을 한 덩어리로 묶으면 이미 아는 세제곱의 합으로 떨어진다. 좌변에 붙은 3abc 가 빠지면 인수분해가 되지 않는다는 점이 이 항등식의 급소다.
나머지정리와 조립제법
나머지정리는 나눗셈을 하지 않고 나머지를 구하는 지름길이다. 다항식을 x − a 로 나눈 나머지가 P(a) 하나로 정해지기 때문이다. 조립제법은 같은 사실을 계산으로 옮긴 것이라, 둘은 따로 외울 것이 아니라 한 쌍이다.
근의 공식
근의 공식은 "어떤 이차방정식이든 계수만 알면 해를 구할 수 있다"는 선언이다. 인수분해가 되지 않아도, 답이 무리수여도 상관없다. 완전제곱식으로 묶는 한 가지 아이디어를 일반적인 계수 a, b, c 에 대해 끝까지 밀어붙인 결과다.
판별식
판별식은 이차방정식을 풀지 않고 근이 몇 개인지만 묻는 도구다. 근의 공식에서 근호 안에 들어가는 값이 그것이고, 이 값의 부호 하나로 근의 개수가 갈린다. 푸는 것과 세는 것은 다른 물음이라 도구도 따로 있다.
이차방정식 근과 계수의 관계
두 근을 직접 구하지 않고도 근의 합과 곱을 계수만으로 알 수 있다. 근을 몰라도 근에 대해 말할 수 있다는 점이 이 관계의 힘이다.
지수법칙
거듭제곱은 같은 수를 몇 번 곱했는지를 적은 표기다. 그래서 거듭제곱끼리 곱하면 "몇 번"을 더하면 되고, 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 "몇 번"을 곱하면 된다. 카드에 적은 세 줄도, 나눗셈과 분수까지 더한 다섯 가지도 따로따로 외울 규칙이 아니다. 곱한 횟수를 세는 한 가지 일을 상황별로 적은 것이다.
행렬의 곱셈
행렬의 곱셈은 성분끼리 곱하는 것이 아니라 왼쪽의 행과 오른쪽의 열을 맞물려 곱해 더한다. 규칙이 낯설어 보이지만 이유가 있다. 2 × 2 행렬에 점 (x, y) 를 곱하면 그 점이 다른 자리로 옮겨 가는데, 곧 행렬 하나가 회전·대칭·확대 같은 변환 하나를 통째로 적어 둔 것이다. 이 곱셈은 그 변환을 점에 실제로 적용하는 계산이다.
삼차방정식 근과 계수의 관계
이차방정식에서 근의 합과 곱을 계수로 읽던 일을 삼차로 넓힌다. 만드는 방법이 똑같다. 근이 셋이면 인수도 셋이고, 그것을 전개해 계수를 견주면 관계식이 세 줄 나온다. 이차에서 두 줄이던 것이 삼차에서 세 줄이 되는 규칙까지 함께 보인다.
산술평균과 기하평균의 관계
두 양수의 산술평균은 기하평균보다 작아지지 않는다. 미지수가 어떤 값을 가져도 늘 성립하는 부등식을 절대부등식이라 하는데, 그 증명은 거의 언제나 실수의 제곱이 0 이상이라는 한 줄에서 출발한다. 합이 일정할 때 곱의 최댓값, 곱이 일정할 때 합의 최솟값을 구하는 표준 도구다.
함수
일차함수의 기울기와 절편
일차함수의 그래프는 직선이고, 그 직선의 모양은 두 수로 완전히 결정된다. 얼마나 기울었는지(기울기)와 어디서 세로축을 만나는지(y절편), 이 둘을 읽는 눈이 함수 단원 전체의 기초가 된다.
반비례 관계
한쪽이 커진 만큼 다른 쪽이 작아져 두 값의 곱이 늘 같은 관계가 반비례다. 같은 거리를 갈 때 속력과 시간, 같은 양을 나눌 때 사람 수와 한 사람 몫이 그렇다. 그래서 반비례는 「곱이 일정하다」 한 마디이고, 식 y = a/x 는 그 말을 y 에 대해 푼 것뿐이다.
이차함수의 꼭짓점(표준형)
이차함수의 식을 표준형으로 고치면 그래프의 꼭짓점이 식 안에 그대로 드러난다. 최댓값·최솟값 문제가 결국 "꼭짓점 찾기"인 이유가 여기에 있다.
삼각함수의 기본 관계
사인과 코사인은 따로 노는 두 값이 아니라 단위원 위 한 점의 좌표다. 그래서 피타고라스 정리가 그대로 삼각함수의 관계식이 된다.
삼각함수의 성질 (각의 변환)
교과서가 「삼각함수의 성질」이라는 이름으로 묶어 두는 절이고, 문제집과 수업에서는 「각의 변환」이라 부른다. 열두 줄쯤 되는 표로 외우게 되는 자리인데, 하는 일은 하나다. 단위원 위의 점을 대칭으로 옮기는 것이다. 점을 옮기면 좌표의 부호가 바뀌거나 x 와 y 가 자리를 바꾸고, 그것이 그대로 공식이 된다. 표를 외우는 대신 원을 그리면 열두 줄이 두 가지 질문으로 줄어든다. 이름이 바뀌는가, 부호가 바뀌는가.
삼각함수의 주기와 진폭
계수 세 개가 파동의 모양과 높이를 정한다. a 는 세로로 늘이고, b 는 가로로 줄이고, d 는 그래프를 통째로 y축 방향으로 평행이동한다. 주기에 b 가 분모로 들어가는 것이 헷갈리는 자리인데, b 가 크면 각이 빨리 돌아 한 바퀴가 일찍 끝난다고 읽으면 나눗셈이 당연해진다. 최댓값과 최솟값은 가운데 선 d 에서 위아래로 |a| 만큼이라고 읽으면 절댓값을 빠뜨리지 않는다.
정비례 관계
한쪽이 커진 만큼 다른 쪽도 같은 배로 커져 두 값의 몫이 늘 같은 관계가 정비례다. 같은 물건을 여러 개 살 때 개수와 값, 일정한 속력으로 갈 때 시간과 거리가 그렇다. 그래서 정비례는 몫이 일정하다는 한 마디이고, 식 y = ax 는 그 말을 y 에 대해 푼 것뿐이다.
유리함수의 점근선
분자를 분모로 나눠 표준형으로 고치면 점근선이 보인다는 것은 이미 배웠다. 그 나눗셈을 문자로 한 번만 해 두면 계수 넷에서 두 점근선을 바로 읽을 수 있다. 조건은 분모에 x 가 남아 있고 분자와 분모가 상수배 관계가 아니라는 것뿐이다.
기하
직사각형의 넓이
직사각형의 넓이는 "단위 정사각형이 몇 개 들어가는가"를 세는 일이다. 가로로 한 줄에 놓이는 개수와 줄 수를 곱하면 개수가 나온다. 곱셈이 넓이를 재는 도구가 되는 첫 순간이다.
원의 둘레와 넓이
원은 직선 도형이 아니라서 넓이를 바로 셀 수 없다. 그래서 원을 잘게 잘라 직사각형에 가깝게 펴는 발상을 쓴다. 반지름 하나로 둘레와 넓이가 모두 정해진다는 것이 핵심이다.
피타고라스 정리
직각삼각형에서 세 변의 길이는 제멋대로가 아니라 하나의 관계로 묶여 있다. 두 변을 알면 나머지 하나가 정해진다는 이 사실이, 좌표평면의 거리 공식부터 GPS까지 이어진다.
삼각비의 정의
직각삼각형에서 한 예각의 크기만 정해지면 세 변의 비가 따라 정해진다. 삼각형을 크게 그리든 작게 그리든 비가 같기 때문이다. 그 정해진 비에 sin, cos, tan 이라는 이름을 붙인 것이 삼각비다. 특수각의 값도, 삼각형의 넓이도, 사인법칙도 모두 이 정의 위에 선다.
특수각의 삼각비
30°, 45°, 60° 의 삼각비 표는 아홉 칸을 통째로 외우는 자리가 아니다. 정삼각형을 반으로 자른 삼각형과 정사각형을 반으로 자른 삼각형, 그림 두 장에서 전부 나온다. 값이 기억나지 않을 때 표를 떠올리는 사람과 삼각형을 그리는 사람의 차이가 여기서 갈린다.
삼각형의 넓이
삼각형은 평행사변형의 절반이다. 같은 삼각형 두 개를 뒤집어 붙이면 밑변 a, 높이 h 인 평행사변형이 되기 때문이다. 높이는 "밑변에 수직인 거리"라는 약속만 지키면 어떤 삼각형에서도 같은 식이 통한다.
부채꼴의 호의 길이와 넓이
부채꼴은 원을 잘라낸 한 조각이다. 중심각이 360° 의 몇 분의 몇인지, 딱 그 비율만큼 호의 길이와 넓이도 나눠 갖는다. 새로 외울 공식이 아니라 원의 둘레와 넓이에 비율을 곱한 것이다.
다각형 내각의 합
오각형의 내각의 합이 540도라는 것을 따로 외울 필요가 없다. 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그으면 다각형이 삼각형 몇 개로 갈리는데, 그 개수가 언제나 변의 개수보다 둘 적다. 삼각형 내각의 합 180도 하나만 알면 어떤 다각형이든 그 자리에서 나온다.
다각형의 대각선의 개수
십각형의 대각선을 하나씩 세다 보면 반드시 빠뜨리거나 두 번 센다. 세지 않고 곱셈으로 끝내는 길이 있다. 꼭짓점 하나에서 몇 개가 나가는지 세어 꼭짓점 수만큼 곱하고, 한 대각선을 양 끝에서 두 번 셌으니 2로 나눈다.
기둥·뿔·구의 부피
기둥은 밑면을 높이만큼 쌓아 올린 것이라 (밑넓이) × (높이) 다. 뿔은 같은 밑면·같은 높이의 기둥에 물을 부어 보면 정확히 세 번 만에 차므로 그 3분의 1이다. 구의 부피는 아르키메데스가 밝힌 대로 그 구가 꼭 들어가는 원기둥의 3분의 2다.
원기둥의 겉넓이
겉넓이는 입체를 펼친 전개도의 넓이다. 원기둥을 펼치면 밑면 원 둘과 옆면 직사각형 하나가 나온다. 새로 외울 것은 옆면 직사각형의 가로가 밑면의 둘레라는 사실 하나뿐이고, 나머지는 원의 넓이와 직사각형의 넓이다.
구의 겉넓이
구는 펼칠 수 없다. 그래서 전개도로 겉넓이를 구하는 길이 막힌다. 대신 교과서는 실을 감았다가 풀어 옮겨 본다. 구의 겉면을 덮은 실을 반지름이 같은 원에 채우면 꼭 네 개가 찬다. 겉넓이에 붙는 4 가 여기서 나온다.
닮음비와 넓이비·부피비
닮은 도형에서 길이가 m : n 이면 넓이는 그 제곱, 부피는 세제곱의 비가 된다. 길이를 2배로 키우면 넓이는 4배, 부피는 8배다. 지도의 축척, 모형과 실물, 큰 피자와 작은 피자의 가성비가 모두 이 한 줄 위에 있다.
평행선과 선분의 비
삼각형의 한 변에 평행한 직선이 다른 두 변을 자르면 잘린 조각의 비가 양쪽에서 같다. 닮음 하나에서 나오는 식인데, 실제로 쓸 때는 전체를 쓰는 AD : AB 꼴보다 조각끼리 맞대는 AD : DB 꼴이 편하다. 두 꼴을 자유롭게 오가는 것이 이 편의 목표다.
삼각형의 중점연결정리
삼각형의 두 변의 중점을 이으면 그 선분은 남은 변과 나란하고 길이가 그 절반이다. 결론이 둘인데 근거는 하나다. 중점이라는 말이 닮음비 1 : 2 를 바로 주고, 거기서 나란함과 절반이 함께 떨어진다. 무게중심도 사다리꼴의 중점을 이은 선분도 전부 이 정리 위에 선다.
삼각형의 무게중심
삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나고 그 점이 무게중심 G 다. G 는 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 2 : 1 로 나눈다. 이 비는 재서 나온 값이 아니라 중점연결정리에서 떨어진다. 두 중점을 이은 선분이 남은 변의 절반이라는 사실이 그대로 닮음비 1 : 2 가 되기 때문이다.
사다리꼴의 중점을 이은 선분
사다리꼴에서 평행하지 않은 두 변의 중점을 이으면 그 선분은 평행한 두 변과 나란하고 길이가 두 변의 평균이 된다. 대각선을 하나 그으면 삼각형이 둘 생기고 각각에서 중점연결정리를 한 번씩 쓰면 끝난다. 사다리꼴의 넓이 공식에 나오는 두 변의 평균이 실제로 그어 볼 수 있는 선분이라는 것이 이 편의 재미다.
직각삼각형의 빗변에 내린 수선
직각인 꼭짓점에서 빗변에 수선을 내리면 작은 직각삼각형이 둘 생긴다. 이 둘과 원래 삼각형은 각이 서로 자리를 바꿔 들어가 모두 닮은꼴이다. 그래서 수선의 길이를 제곱한 값이 빗변이 갈린 두 조각의 곱과 같아진다. 같은 그림에서 변과 조각을 맺는 관계도 함께 나오는데, 그 둘을 더하면 나중에 배울 피타고라스 정리가 된다.
내접원의 반지름과 삼각형의 넓이
내심은 세 변에서 같은 거리에 있는 점이고, 그 거리가 내접원의 반지름 r 이다. 이 사실 하나로 삼각형을 세 조각으로 가르면 세 조각의 높이가 전부 r 이 되어 넓이가 한 줄로 묶인다. 넓이와 둘레를 알면 반지름이, 반지름과 둘레를 알면 넓이가 바로 나온다.
이등변삼각형의 성질
두 변의 길이가 같은 삼각형에서는 선 하나가 모든 것을 끝낸다. 꼭지각 A 의 이등분선이 밑변 BC 와 만나는 점을 D 라 하면, 그 선 AD 가 삼각형을 합동인 둘로 가른다. 합동 한 번에서 두 밑각이 같다는 것과 밑변이 수직으로 이등분된다는 것이 함께 떨어진다. 결론이 셋이라 외울 것이 많아 보이지만 근거는 하나뿐이다. 밑변을 수직이등분하는 것은 삼각형 자체가 아니라 꼭지각의 이등분선이라는 점을 놓치지 말 것.
평행사변형의 성질
평행사변형의 성질은 대변 · 대각 · 대각선 셋으로 적히지만 형제가 아니다. 대각선을 하나 그으면 엇각 두 쌍이 생겨 합동인 삼각형 한 쌍이 나오고, 거기서 대변과 대각이 같다는 것이 나온다. 그리고 그 결과인 AB = DC 를 재료로 써야 두 번째 합동이 서고, 그제야 두 대각선이 서로를 이등분한다는 것이 나온다. 순서가 있는 사슬이라는 것이 이 편의 요점이다.
직사각형의 대각선
직사각형은 평행사변형에 「네 각이 직각」이라는 조건을 하나 더한 것이다. 그래서 평행사변형이 가진 것을 전부 물려받고 거기에 하나를 더 얻는다. 두 대각선의 길이가 같아지는 것이 그 하나다. 물려받은 「대각선이 서로를 이등분한다」와 합치면 교점에서 네 꼭짓점까지가 모두 같은 거리가 되는데, 직각삼각형의 외심이 빗변의 중점인 까닭이 바로 여기에 있다.
마름모의 대각선
마름모는 평행사변형에 「네 변의 길이가 같다」는 조건을 하나 더한 것이다. 물려받는 것은 두 대각선이 서로를 이등분한다는 성질이고, 새로 얻는 것은 두 대각선이 수직이라는 사실이다. 마름모의 넓이를 두 대각선의 곱의 절반으로 구하는 편이 말없이 쓰는 전제가 바로 이 수직이다. 대각선 BD 를 따라 잘라 보면 이등변삼각형이 나오는데, 그래서 끝이 이등변삼각형의 성질 편과 똑같아진다.
원주각과 중심각
같은 호를 바라보는 원주각은 중심각의 절반이다. 그래서 원 위 어느 자리에서 바라보든 원주각의 크기가 똑같다. 지름을 바라보는 각이 언제나 직각인 것도 여기서 곧바로 따라 나온다.
두 변과 낀각으로 구하는 삼각형의 넓이
높이를 직접 잴 수 없어도 두 변과 그 사이 각만 알면 넓이가 나온다. 삼각형의 넓이 공식에서 높이를 삼각비로 바꿔 쓴 것이 전부다. 땅의 넓이를 재는 측량은 대부분 이 식으로 한다.
두 점 사이의 거리
좌표평면 위 두 점 사이의 거리는 자를 대지 않고 계산으로 나온다. x 의 차이와 y 의 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형을 그리면 거리는 그 빗변이기 때문이다. 피타고라스 정리를 좌표 위로 옮긴 것이 전부다.
선분의 내분점
선분을 주어진 비로 나누는 점의 좌표다. 계수가 엇갈려 붙는 것이 이 식의 전부이고, 그 엇갈림은 외우는 규칙이 아니라 평행선 사이의 선분의 비에서 나온다. m = n 을 넣으면 중점 공식이 그대로 떨어지므로 외울 공식이 하나 줄어든다.
선분의 외분점
선분 AB 를 m : n 으로 외분하는 점 Q 는 선분 위가 아니라 그 연장선 위에 있다. AQ : QB = m : n 이 되도록 잡은 점인데, 두 조각의 비를 선분 밖에서 맞추므로 점이 선분을 벗어난다. 식은 내분점 공식에서 n 을 −n 으로 바꾼 것이라 새로 외울 것이 없다. m 이 n 보다 크면 Q 는 B 쪽 바깥에, m 이 n 보다 작으면 A 쪽 바깥에 놓인다. m 과 n 이 같으면 그런 점은 아예 없다. 선분 밖에서 두 조각의 길이가 같아지는 자리가 없기 때문이다. 외분점은 2022 개정 교육과정의 공통수학에서 빠졌지만, 2015 교육과정으로 배우는 학생을 위해 이 편을 남겨 둔다.
원의 방정식
원은 "한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임"이다. 이 한 문장을 좌표로 옮기면 곧바로 원의 방정식이 된다. 두 점 사이의 거리 공식에서 거리를 r 로 두고 양변을 제곱한 것과 같다.
원의 접선의 방정식
원 위의 한 점에서 그은 접선의 식이다. 원의 식 x² + y² = r² 에서 x² 을 x₁x 로, y² 을 y₁y 로 한 짝씩만 접점 좌표로 바꿔 쓴 꼴이라 모양으로 기억된다. 그 모양이 나오는 까닭은 하나뿐이다. 접선은 접점까지 그은 반지름과 수직이다.
사인법칙
직각삼각형이 아니어도 변과 각을 오갈 수 있게 해 주는 법칙이다. 변과 그 대각의 sin 은 짝을 이루어 a/sin A 의 값이 어느 변으로 재도 같고, 그 공통값이 외접원의 지름 2R 이다. 각과 그 대변이 짝으로 주어질 때 남은 변이나 각을 이 한 줄로 얻는다.
코사인법칙
피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립한다. 코사인법칙은 거기에 보정항 −2bc cos A 하나를 붙여 모든 삼각형으로 넓힌 식이다. A = 90° 를 넣으면 cos A 가 0 이라 보정항이 사라지고 그대로 피타고라스 정리가 된다. 두 변과 낀각을 알 때 남은 변을, 세 변을 알 때 각을 준다.
벡터의 내적
내적은 한 벡터가 다른 벡터 방향으로 얼마나 나아가는지를 재는 값이다. 각으로 쓴 식과 성분으로 쓴 식이 같다는 것이 핵심이다. 그래서 좌표만 알면 두 벡터가 이루는 각을 구할 수 있고, 수직인지 아닌지는 내적이 0 인지로 판정된다.
타원의 방정식
타원은 "두 초점까지의 거리의 합이 일정한 점의 모임"이다. 정의는 이 한 문장이 전부이고, 표준형은 그 문장을 좌표로 옮겨 근호를 없앤 결과일 뿐이다. 압정 두 개에 실을 걸고 연필로 팽팽하게 당겨 그리면 나오는 곡선이 정확히 이것이며, 행성의 궤도가 이 모양이다.
정사영의 넓이
도형의 각 점에서 평면에 수선을 내려 만든 그림자가 정사영이다. 그림자는 원래 도형보다 작아지는데, 얼마나 작아지는지가 두 평면이 이루는 각 하나로 정해진다. 공간 문제를 평면 위의 계산으로 끌어내리는 도구이며, 태양의 고도에 따라 그림자가 길어지고 짧아지는 것과 같은 이야기다.
점과 직선 사이의 거리
점과 직선 사이의 거리는 수선의 발까지의 길이다. 수선의 발을 직접 구해도 되지만 계산이 길다. 직선의 식에 점의 좌표를 그대로 넣은 값이 거리와 비례한다는 사실을 쓰면 한 줄로 끝난다.
직선의 방정식
직선 하나를 식으로 적는 데 필요한 것은 지나는 점 하나와 기울기 하나다. 기울기가 어느 두 점으로 재도 같다는 성질에서 이 꼴이 곧바로 나온다. y = mx + b 를 먼저 배우지만 실제 문제는 대개 점과 기울기, 또는 두 점을 준다. 그때 절편을 먼저 구하려고 돌아가지 않고 이 한 줄에 바로 넣는다.
두 직선의 평행과 수직
두 직선의 관계는 기울기 둘만 견주면 끝난다. 평행 조건은 정의에서 바로 나오므로 유도할 것이 없지만, 수직 조건의 곱이 왜 −1 인지는 그림 없이 외우기 어렵다. 두 직선을 원점으로 옮겨 놓고 피타고라스 정리를 한 번 쓰면 그 −1 이 나온다.
호도법과 부채꼴
중1 때 배운 부채꼴 공식에는 360 이라는 숫자가 계속 끼어들었다. 각을 도 대신 반지름을 기준으로 재면 그 숫자가 사라지고, 호의 길이와 넓이가 곱셈 하나로 끝난다. 이렇게 잰 각의 단위가 라디안이다. 편해지려고 바꾼 단위가 나중에 삼각함수를 미분할 때 결정적인 역할을 한다.
헤론의 공식
세 변의 길이만 알면 각을 하나도 재지 않고 삼각형의 넓이가 나온다. 높이를 따로 구할 필요도 없다. 지금 교육과정에는 들어 있지 않아 시험에 그대로 나오지는 않지만, 코사인법칙에서 이 식이 나오는 과정 자체가 좋은 연습이라 참고로 싣는다.
공간에서 두 점 사이의 거리
평면에서 쓰던 거리 공식에 z 항이 하나 더 붙은 꼴이다. 외워서 늘린 것이 아니라 피타고라스 정리를 두 번 쓰면 그렇게 된다. 바닥에서 한 번, 높이 방향으로 한 번이다. 차원이 하나 늘어도 같은 도구가 그대로 통한다는 것을 보여 주는 자리다.
삼각형 내각의 합
삼각형을 아무리 찌그러뜨려도 세 각을 더한 값은 언제나 180도다. 여러 개를 재 보고 그렇더라는 말이 아니라, 한 꼭짓점을 지나 맞은편 변과 평행한 직선을 하나 그으면 세 각이 그 직선 위에 그대로 모이기 때문이다. 다각형의 내각의 합도 전부 이 한 줄에서 나온다.
도형의 평행이동
점을 오른쪽으로 3 만큼 옮기면 x 좌표에 3 을 더한다. 그런데 도형의 식에서는 3 을 뺀다. 이 반대 방향이 이 단원 최대의 함정이다. 규칙으로 외우면 시험장에서 반드시 헷갈리므로, 왜 부호가 뒤집히는지를 한 문장으로 잡아 두는 편이 싸다.
내분점의 위치벡터
선분 AB 를 m : n 으로 나누는 점의 자리를 벡터로 적는 식이다. 분자에서 m 과 n 이 뒤바뀌어 붙는 것이 이 식의 전부이자 함정인데, 그 까닭은 유도 한 줄이면 드러난다. A 에서 출발해 AB 방향으로 전체의 m/(m+n) 만큼 가면 그 자리다.
평행사변형의 넓이
평행사변형은 직사각형을 비스듬히 민 모양이다. 밀어도 덮는 넓이는 변하지 않으므로 공식도 직사각형과 같은 꼴이 된다. 새로 외울 것은 없고, 높이를 비스듬한 변이 아니라 밑변에서 수직으로 잰 거리로 읽는 것 하나만 지키면 된다.
사다리꼴의 넓이
사다리꼴은 마주 보는 한 쌍의 변만 평행한 사각형이라 칸을 바로 셀 수 없다. 그런데 같은 사다리꼴을 하나 더 만들어 돌려 붙이면 평행사변형이 되고, 그 밑변은 윗변과 아랫변을 한 줄로 이어 붙인 길이다. 삼각형에서 쓴 수법이 그대로 한 번 더 통하는 자리다.
마름모의 넓이
마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이다. 변을 밑변으로 삼으면 높이를 따로 재야 하는데, 두 대각선을 쓰면 잴 것이 대각선 둘로 끝난다. 마름모를 꼭 둘러싸는 직사각형을 그려 보면 마름모가 그 절반이라는 것이 한눈에 보인다.
다각형 외각의 합
내각의 합은 변이 하나 늘 때마다 180도씩 커지는데 외각의 합은 몇 각형이든 360도로 똑같다. 이상하게 들리지만 내각의 합을 알면 그 자리에서 나오는 값이다. 꼭짓점마다 내각과 외각이 평각을 이루므로, 평각을 전부 모았다가 내각의 합을 덜어 내면 남는 것이 외각의 합이다.
원뿔의 겉넓이
원뿔의 겉넓이는 외울 공식이 하나 더 늘어난 것이 아니라 전개도의 넓이다. 원뿔을 한 줄 잘라 펼치면 밑면 원 하나와 부채꼴 하나가 나온다. 그 부채꼴의 반지름이 원뿔의 모선이고 호는 밑면을 감고 있던 둘레다. 이 둘만 알면 나머지는 부채꼴의 넓이 계산이다.
정삼각형의 높이와 넓이
정삼각형은 세 변이 같아 밑변은 바로 알지만 높이가 주어지지 않는다. 그런데 꼭짓점에서 수선을 내리면 직각삼각형이 생기고, 피타고라스 정리가 그 높이를 한 줄로 내놓는다. 높이가 나오면 넓이는 따라 나오므로 정삼각형은 한 변 하나로 모든 것이 정해진다.
정사각형의 대각선
정사각형의 대각선은 자를 대지 않아도 한 변에서 바로 나온다. 대각선 하나가 정사각형을 똑같은 삼각형 둘로 가르는데, 그 삼각형은 직각을 낀 두 변이 모두 한 변 a 이고 빗변이 대각선이다. 피타고라스 정리를 한 번 쓰면 끝난다.
삼각형의 무게중심
세 꼭짓점의 좌표를 그냥 평균하면 무게중심이 나온다. 다른 좌표 공식이 계수를 엇갈려 곱하는 것과 달리 이 편만 유난히 단순한데, 그 까닭은 중선을 2 대 1 로 나눈다는 성질이 내분점 공식 안에서 깨끗하게 약분되기 때문이다.
대칭이동한 도형의 방정식
도형을 뒤집으면 식에서는 좌표의 부호가 바뀌거나 자리가 맞바뀐다. 평행이동이 「점에는 더하고 식에서는 뺀다」였던 것과 같은 이유에서 나오는데, 식에 넣는 것이 옮긴 뒤의 점이 아니라 옮겨 오기 전의 점이기 때문이다.
포물선의 방정식
포물선은 한 점과 한 직선에서 같은 거리에 있는 점의 모임이다. 그 한 문장을 좌표로 옮기고 근호를 없애면 표준형이 그대로 나온다. 외울 것은 식이 아니라 「초점과 준선까지가 같다」는 정의 쪽이다.
쌍곡선의 방정식과 점근선
두 초점까지의 거리의 차가 일정한 점의 모임이 쌍곡선이다. 타원이 합을 고정한 것과 부호 하나만 다른데, 그 하나가 곡선을 끊어 두 가지로 만들고 멀리서 직선에 가까워지게 만든다. 그 직선이 점근선이다.
이차곡선 위의 점에서의 접선
곡선 위의 점에서 그은 접선의 식은 외울 것이 거의 없다. 원에서 쓰던 바꿔 쓰기를 그대로 가져오면 된다. 곡선의 식에서 제곱된 자리를 한 짝씩만 접점 좌표로 바꾸는 것이 전부다.
기울기가 주어진 원의 접선
접점이 아니라 기울기가 주어지면 접선이 둘이다. 원을 사이에 두고 나란히 놓인 두 직선인데, 그 둘을 한 식으로 적은 것이 플러스마이너스다. 푸는 길은 「중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다」 한 줄이다.
현의 길이
중심에서 현에 수선을 내리면 현이 정확히 반으로 갈린다. 그 순간 반지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 생기고, 남는 일은 피타고라스 정리뿐이다. 새로 외울 식이 아니라 이등분 성질과 피타고라스를 이어 붙인 것이다.
구의 방정식
구는 한 점에서 같은 거리에 있는 점을 모두 모은 것이다. 원과 뜻이 한 글자도 다르지 않고 거리를 재는 식에 항이 하나 늘 뿐이다. 차원이 하나 올라가도 구조가 그대로라는 것이 좌표라는 도구의 힘이다.
직선의 벡터방정식
직선은 한 점을 지나 한 방향으로 곧게 뻗어 나간 것이다. 벡터로 쓰면 이 문장이 거의 그대로 식이 된다. 그래서 평면에서만 통하던 y = mx + n 과 달리 성분을 하나 늘리는 것만으로 공간까지 따라간다.
확률과통계
분산과 표준편차
평균이 같아도 자료가 몰려 있는지 흩어져 있는지는 전혀 다르다. 각 자료가 평균에서 얼마나 떨어졌는지를 제곱해 평균 낸 것이 분산이고, 제곱하면서 부풀어 오른 단위를 원래대로 되돌린 것이 표준편차다.
순열과 조합
순열은 뽑아서 줄까지 세우는 경우의 수, 조합은 줄 세우지 않고 뽑기만 하는 경우의 수다. 조합이 순열을 r! 로 나눈 값인 이유는 하나의 조합이 순열에서는 r! 번 거듭 세어지기 때문이다.
조건부확률
어떤 사건이 일어났다는 정보가 주어지면 세는 무대 자체가 그만큼 좁아진다. 조건부확률은 분모가 전체 1 에서 P(A) 로 바뀐 것이 전부다. 문제에 "~인 것 중에서"라는 말이 보이면 이 식이다.
정규분포의 표준화
정규분포는 평균과 표준편차에 따라 모양이 제각각이라 표를 무한히 만들 수는 없다. 그래서 평균만큼 빼서 중심을 0 으로 옮기고, 표준편차로 나눠 폭을 1 로 맞춘다. 모든 정규분포가 하나의 표준정규분포로 포개진다.
합집합의 원소의 개수
두 모임을 합치면 원소가 몇 개일까. 그냥 더하면 양쪽에 다 들어 있는 원소를 두 번 세게 된다. 그래서 겹치는 만큼을 한 번 빼 준다. 벤 다이어그램의 네 칸을 한 번씩만 세는 것이 이 식의 전부이며, 뒤에 배울 경우의 수의 합의 법칙과 확률의 덧셈정리가 전부 이 한 줄의 다른 얼굴이다.
이항정리
이항정리는 곱셈 공식을 임의의 차수로 넓힌 것이다. 전개했을 때 각 항의 계수가 왜 조합의 수인지가 핵심이다. 괄호를 하나씩 열어 a 와 b 중 무엇을 고르는가라는 물음으로 바꾸면 계수가 저절로 나온다.
이항계수의 합
이항정리는 어떤 두 수에 대해서도 성립하는 항등식이다. 그러니 원하는 값을 넣어도 된다. 둘 다 1 을 넣으면 문자가 사라지고 계수만 남아, 전개하지 않고도 계수의 합이 나온다.
이항분포의 평균·분산·표준편차
이항분포의 평균과 분산은 확률분포표를 만들어 일일이 더하지 않아도 나온다. n 번의 시행을 한 번짜리 시행 n 개의 합으로 보면 되기 때문이다. 한 번을 풀어 두고 n 배 하는 것이 이 공식의 전부다.
확률변수의 평균과 분산
확률변수는 값 하나가 아니라 값과 확률의 표로 주어진다. 그 표를 수 하나로 줄이면 평균이고, 평균에서 얼마나 흩어져 있는지를 재면 분산이다. 이항분포와 정규분포의 평균·분산이 모두 이 정의 위에 서므로 여기가 확률분포의 출발점이다.
확률변수의 일차변환
확률변수에 상수를 곱하고 더하면 분포가 어떻게 달라지는가. 평균은 곱하고 더한 그대로 따라가지만 흩어짐은 다르다. 통째로 옮기는 것은 흩어짐을 바꾸지 않고, 늘리는 것만 흩어짐을 바꾼다. 정규분포의 표준화가 이 성질 하나로 돌아간다.
부분집합의 개수
원소가 n 개인 집합의 부분집합은 2ⁿ 개다. 부분집합을 하나 만드는 일이 원소마다 넣을지 말지를 정하는 일이기 때문이다. 원소 하나가 두 갈래를 만들고 그 선택이 서로 영향을 주지 않으므로 2 를 n 번 곱하게 된다. 약수의 개수를 셀 때 쓴 생각과 뿌리가 같다.
평균
여러 개의 수를 하나의 수로 요약하는 첫 도구다. 다 더해서 개수로 나눈다는 절차보다 중요한 것은 그 뜻이다. 평균은 가진 것을 모두 모아 똑같이 나눠 가졌을 때 한 사람 몫이 얼마인가를 말한다. 그래서 자료에 없는 값이 평균으로 나오기도 한다.
합의 법칙과 곱의 법칙
경우의 수를 세는 두 가지 기본 원리다. 어려운 것은 계산이 아니라 언제 더하고 언제 곱하는지 가르는 일이다. 둘 중 하나만 고르는 상황이면 더하고, 하나를 고른 뒤 이어서 또 고르는 상황이면 곱한다. 그리고 그 둘은 서로 다른 규칙이 아니다. 곱의 법칙은 합의 법칙을 여러 번 되풀이한 것이다. 확률이 이 셈 위에 세워지므로 여기서 갈라 두지 않으면 뒤가 전부 흔들린다.
여사건의 확률
일어나지 않을 확률은 전체에서 일어날 확률을 뺀 것이다. 당연해 보이는 이 한 줄이 강력한 이유는 방향을 뒤집을 수 있기 때문이다. "적어도 하나"를 묻는 문제는 세어야 할 경우가 여러 갈래로 갈라지지만, 뒤집으면 "하나도 없는" 한 갈래만 세면 된다.
독립시행의 확률
같은 일을 조건을 바꾸지 않고 여러 번 되풀이할 때, 성공이 정확히 몇 번 나올 확률을 구하는 식이다. 한 번의 확률을 곱해 쌓은 뒤 순서의 가짓수를 곱하는 두 걸음으로 끝난다. 이 식이 곧 이항분포의 확률이므로, 여기서 세운 것이 다음 단원의 평균과 분산으로 그대로 이어진다.
중복조합
같은 것을 여러 번 골라도 되고 순서는 따지지 않는 뽑기다. 사탕 세 종류에서 다섯 개를 고르는 일이 여기 속한다. 외울 식처럼 보이지만 실제로는 조합 하나를 다른 말로 적은 것뿐이다. 고른 결과를 동그라미와 칸막이로 한 줄에 늘어놓으면, 중복조합은 그 줄에서 동그라미가 놓일 자리를 고르는 일이 된다.
원순열
원탁에 둘러앉는 문제는 한 줄로 세우는 문제와 답이 다르다. 원에서는 통째로 한 칸씩 돌린 배치를 모두 같은 것으로 보기 때문이다. 같은 것을 몇 번 세었는지만 알면 줄 세우기에서 나눗셈 한 번으로 건너간다.
같은 것이 있는 순열
같은 글자가 섞인 낱말을 나열하는 문제다. 같은 것끼리 자리를 바꿔도 겉보기가 달라지지 않으므로, 전부 다르다고 보고 센 뒤 겹쳐 센 만큼 나눈다. 원순열과 같은 발상이고 나누는 수만 다르다.
확률의 덧셈정리
두 사건 중 적어도 하나가 일어날 확률을 구할 때 그냥 더하면 겹치는 부분을 두 번 센다. 그래서 한 번 뺀다. 집합에서 원소의 개수를 셀 때 쓰던 식과 모양이 같은데, 우연이 아니라 그 식의 양변을 전체 경우의 수로 나눈 것이기 때문이다.
배반사건의 확률
두 사건이 동시에 일어날 수 없으면 배반이라 한다. 겹치는 경우가 없으므로 각 확률을 그냥 더하면 된다. 덧셈정리에서 교집합이 0인 특수한 경우이지만, 확률 문제에서 워낙 자주 나오기 때문에 따로 익힐 가치가 있다. 배반과 독립은 전혀 다른 개념이다. 배반이면 하나가 일어났을 때 다른 하나는 절대 안 일어나므로, 오히려 가장 강하게 종속된 관계다.
독립사건의 확률
한 사건이 일어나든 말든 다른 사건의 확률이 달라지지 않을 때 두 사건은 독립이라 한다. 독립이면 동시에 일어날 확률이 각 확률의 곱이 된다. 조건부확률에서 조건이 아무 효과가 없는 것이 독립이므로, 곱셈정리의 P(B|A) 가 P(B) 로 돌아간 것이다.
모평균의 신뢰구간
표본 하나로 모평균을 정확히 맞히는 일은 불가능하다. 그래서 「이쯤에서 이쯤 사이」라고 구간으로 답하고, 그 답이 맞을 비율을 함께 말한다. 구간의 중심은 언제나 표본평균이고, 폭은 표본평균이 얼마나 흔들리는가와 얼마나 확신하고 싶은가가 정한다.
모비율의 신뢰구간
여론조사는 전체를 묻지 않고 일부만 묻는다. 그렇게 얻은 표본비율로 모집단의 진짜 비율을 구간으로 감싸는 것이 모비율의 신뢰구간이다. 모평균 구간과 꼴이 같고 흩어짐을 재는 자리만 다르다.
드모르간의 법칙
여집합을 씌우면 합집합과 교집합이 서로 바뀐다. 외울 규칙처럼 보이지만, 두 원이 만드는 칸 넷 가운데 같은 칸이 칠해지는 것을 한 번 보면 잊히지 않는다. 「또는」의 부정이 「그리고」라는 말을 집합의 기호로 옮긴 것이 전부다.
조합의 두 성질
조합은 큰 수에서 정의대로 계산하면 금세 버거워진다. 그런데 뽑는 일을 남기는 일로 바꿔 보거나 특정한 하나를 뽑았는지로 갈라 보면 계산이 크게 줄어든다. 파스칼의 삼각형에서 한 수가 바로 위 두 수의 합인 것이 그 두 번째 성질이다.
중복순열
같은 것을 몇 번이고 다시 골라도 될 때의 나열이다. 순열은 한 번 쓴 것이 빠지면서 가짓수가 하나씩 줄어들지만, 중복순열은 자리마다 늘 같은 가짓수가 남는다. 그 차이 하나가 곱셈식의 모양을 통째로 바꾼다.
이항분포의 정규근사
이항분포는 n 이 조금만 커져도 항을 일일이 더할 수 없다. 그런데 막대를 그려 보면 n 이 커질수록 종 모양에 다가간다. 평균과 분산을 그대로 물려받는 정규분포 하나로 갈아 끼우면 표 한 장으로 계산이 끝난다.
표본평균의 분포
표본을 뽑을 때마다 평균이 달라지므로 표본평균 자체가 확률변수다. 그런데 그 흔들림에 규칙이 있다. 중심은 모평균 그대로이고 흩어짐만 줄어드는데, 줄어드는 몫이 n 이 아니라 n 의 제곱근이다. 표본을 키워도 정확도가 그만큼은 안 오르는 까닭이 여기 있다.
미적분
다항함수의 도함수
도함수는 그래프의 순간 기울기를 함수로 나타낸 것이다. 다항함수라면 지수를 앞으로 내리고 지수를 하나 줄이는 규칙 하나로 끝난다.
미분계수와 도함수의 정의
평균변화율은 두 점을 잇는 할선의 기울기다. 두 점을 한없이 가깝게 붙이면 할선이 한 점에서의 접선으로 가고, 그 기울기가 미분계수다. 미분의 모든 공식이 이 한 줄에서 나오므로 이것만은 결과가 아니라 출발점이다.
삼각함수의 덧셈정리
sin(α + β) 는 sin α + sin β 가 아니다. 각을 더하면 두 각의 sin 과 cos 이 서로 섞여 나온다. 2배각·반각 공식이 모두 이 식에서 따라 나오고, 삼각함수를 미분할 때 도함수를 세우는 문도 이 식이다.
접선의 방정식
곡선 위 한 점에서의 접선은 그 점을 지나고 기울기가 f′(a) 인 직선이다. 미분이 접선의 기울기를 준다는 사실 하나와, 기울기와 한 점으로 직선을 세우는 법만 있으면 식이 완성된다.
정적분과 부정적분의 관계
정적분은 잘게 쪼개 더한 것의 극한이고 부정적분은 미분을 거꾸로 돌린 것이다. 둘은 출발이 전혀 다른데 답이 같다. 넓이를 재는 일과 미분을 되돌리는 일이 한 식으로 이어진다는 것이 미적분의 중심이다.
곱의 미분법
두 함수의 곱을 미분하면 각각의 도함수를 곱한 것이 되지 않는다. 정의로 돌아가면 이유가 보인다. 분자에 항을 하나 더하고 빼서 두 조각으로 가르면 f 쪽 변화와 g 쪽 변화가 따로 드러난다. 수2 에서 다항함수로 배운 규칙이고, 미적분에서는 지수함수·삼각함수 같은 일반 함수로 그대로 넓어진다.
합성함수의 미분법
함수 안에 함수가 들어 있으면 변화가 두 단계로 전해진다. 속이 x 보다 몇 배 빨리 변하고, 겉이 속보다 몇 배 빨리 변하는지를 곱하면 전체가 x 보다 몇 배 빨리 변하는지가 나온다. 미분법 셋 가운데 가장 많이 쓰이고, 몫의 미분법도 이것 위에 선다.
몫의 미분법
몫의 미분법은 따로 외울 새 규칙이 아니다. 나눗셈을 지수 −1 인 거듭제곱의 곱으로 바꾸면 이미 아는 곱의 미분법과 연쇄법칙만으로 끝난다. 그래도 시험장에서는 분자의 순서와 부호가 자주 틀리므로 결과를 붙잡아 두는 편이 낫다.
등비급수의 합
항이 무한히 많은데 합이 유한한 값에 멈추는 일이 있다. 공비의 절댓값이 1 보다 작을 때가 그렇다. 등비수열의 합에서 공비의 거듭제곱이 붙은 항이 0 으로 눌리면서 상수 부분만 남기 때문이다.
지수함수의 도함수
미분해도 자기 자신인 함수가 있다. 지수함수는 어떤 밑으로 미분해도 모양이 그대로 남고 앞에 상수 하나가 붙는데, 그 상수가 정확히 1 이 되는 밑이 e 다. e 가 특별한 이유는 신기해서가 아니라 미분이 가장 깔끔해지도록 고른 수이기 때문이다.
로그함수의 도함수
로그함수는 지수함수를 거울에 비춘 함수다. 그래서 도함수도 처음부터 다시 구할 필요가 없다. x = e^y 로 고쳐 쓰고 역함수의 미분을 쓰면 1/x 이 나온다. 다항함수를 적분할 때 지수가 −1 인 자리만 비어 있었는데, 그 구멍을 이 공식이 메운다.
삼각함수의 도함수
사인을 미분하면 코사인이 되고, 코사인을 미분하면 사인에 음수 부호가 붙는다. 네 번 미분하면 제자리로 돌아오는 고리다. 탄젠트는 이 둘을 몫의 미분법으로 엮으면 따라 나오므로 따로 외울 것이 없다. 결과가 이렇게 깔끔한 것은 각을 라디안으로 쟀기 때문이고, 도 단위로 두면 앞에 π/180 이 끼어든다. 호도법을 배운 이유가 여기서 드러난다.
부분적분
곱으로 된 함수를 곧바로 적분하는 규칙은 없다. 대신 곱의 미분법을 거꾸로 읽으면, 적분해야 할 곱 하나를 더 쉬운 곱 하나로 바꿔 주는 식이 나온다. 문제를 끝내는 공식이 아니라 문제를 갈아 끼우는 공식이라, 어느 쪽을 u 로 둘지가 승부를 가른다.
치환적분
치환적분은 연쇄법칙을 거꾸로 읽은 것이다. 미분할 때 속미분이 곱해져 나왔으므로, 적분할 식에 속미분이 함께 들어 있으면 그것을 도로 묶어 들일 수 있다. 복잡해 보이는 적분을 u 하나의 간단한 적분으로 갈아입히는 도구다.
회전체의 부피
곡선 아래 넓이를 구할 때 얇은 직사각형을 쌓았듯이, 회전체의 부피는 얇은 원판을 쌓아 구한다. x 에서 회전축에 수직으로 자르면 단면은 반지름이 f(x) 인 원이고, 그 넓이를 a 부터 b 까지 더한 것이 부피다. 새로 외울 것은 단면이 원이라는 사실 하나뿐이다.
위치·속도·가속도
미분이 순간의 변화율이라는 정의가 물리에서 그대로 쓰이는 자리다. 위치를 시간으로 미분하면 속도가 되고, 속도를 다시 미분하면 가속도가 된다. 미분을 왜 배우는지 묻는 학생에게 가장 먼저 보여 줄 수 있는 답이기도 하다.
다항함수의 부정적분
미분의 거울이다. 미분이 지수를 하나 내리고 앞에 곱했으니, 적분은 지수를 하나 올리고 그 수로 나눈다. 새로 외울 공식이 아니라 이미 아는 미분 공식을 거꾸로 읽은 것이다. 뒤에 붙는 +C 는 장식이 아니라 되돌릴 때 잃어버린 정보를 적어 두는 자리다.
두 곡선 사이의 넓이
곡선과 x 축 사이의 넓이를 구하는 식에서 밑변이 x 축이 아니라 다른 곡선으로 바뀐 것뿐이다. 세로로 얇은 직사각형 하나의 높이가 위 곡선에서 아래 곡선까지의 거리이고, 그것을 구간 전체에 걸쳐 더한다. 그래서 두 곡선이 x 축 아래에 있어도 식이 그대로 통한다.
급수를 정적분으로 바꾸기
정적분은 원래 잘게 쪼개 더한 것의 극한이다. 그러니 그런 꼴의 극한을 만나면 거꾸로 적분으로 되돌릴 수 있다. 시험에서 계산이 불가능해 보이는 급수가 나오면 대개 이 되돌리기를 묻는 것이다.
곡선의 길이
곡선을 잘게 꺾어 선분으로 이으면 길이를 잴 수 있다. 조각마다 피타고라스를 쓰고 모두 더한 뒤 조각을 무한히 잘게 만드는 것이 전부다. 근호 안이 제곱의 합인 이유가 바로 그 피타고라스다.
정적분으로 정의된 함수의 미분
위끝을 변수로 둔 정적분은 x 가 움직이면 값이 따라 변하는 함수다. 그 함수를 미분하면 원래 함수가 그대로 돌아온다. 미분과 적분이 서로의 역이라는 말을 가장 짧게 적은 것이 이 한 줄이다.
우함수와 기함수의 정적분
적분 구간이 원점을 가운데 두고 대칭이면 계산이 절반으로 줄거나 아예 0 이 된다. 그래프의 좌우가 포개지는지 뒤집혀 포개지는지만 보면 된다. 시험에서 복잡해 보이는 적분이 한 줄에 끝나는 자리가 대개 여기다.
속도로 구하는 위치 변화와 거리
위치를 미분하면 속도였으니 거꾸로 속도를 적분하면 위치의 변화가 나온다. 그런데 되돌아온 운동에서는 위치 변화와 실제로 움직인 거리가 다르다. 그 둘을 가르는 것이 절댓값 하나다.
평균값 정리
두 점을 잇는 할선과 나란한 접선이 그 사이 어딘가에 반드시 있다. 당연해 보이는 이 말이 「도함수가 양수면 증가한다」 같은 판정의 논리적 근거다. 증가와 감소를 도함수로 판단할 때마다 이 정리를 쓰고 있는 셈이다.
매개변수로 나타낸 함수의 미분
x 와 y 가 각각 시간 같은 제3의 변수로 주어지면 y 를 x 로 직접 푸는 일이 어렵거나 불가능하다. 그런데 기울기는 두 변화율의 비일 뿐이라 t 로 각각 미분해 나누기만 하면 된다. 소거할 필요가 없다는 것이 이 공식의 값이다.
역함수의 미분법
역함수의 그래프는 원래 그래프를 직선 y = x 에 대해 접은 것이다. 접으면 가로와 세로가 맞바뀌므로 기울기가 뒤집힌다. 로그함수의 도함수도 지수함수에 이 규칙을 쓴 결과다.
평면 운동의 속도와 속력
직선 위의 운동에서는 속도가 수 하나였지만 평면에서는 방향이 생겨 성분 둘이 된다. 각 성분을 따로 미분하면 속도이고, 그 둘을 피타고라스로 합치면 속력이다. 성분마다 따로 본다는 것 하나로 직선 운동의 모든 이야기가 그대로 옮겨 온다.
sin x 나누기 x 의 극한
삼각함수 미분 전체가 이 극한 하나에서 나온다. 단위원에서 넓이 셋을 크기 순으로 늘어놓고 조임정리를 쓰면 끝인데, 조건이 하나 붙는다. 각을 라디안으로 재야 한다. 미적분에서 도를 안 쓰는 이유가 여기 있다.
지수와 로그의 기본 극한
지수함수와 로그함수의 도함수가 이 두 극한 위에 서 있다. 둘 다 e 의 정의에서 한 걸음 만에 나오고 서로는 치환 하나로 오간다. 외울 것이 두 개가 아니라 하나다.
지수함수와 x 분의 1 의 부정적분
다항함수의 적분 공식은 지수가 −1 인 자리에서 분모가 0 이 되어 멈춘다. 그 한 칸을 로그가 메운다. 지수함수 쪽은 미분해도 자기 자신이라는 성질이 그대로 뒤집혀 한 줄로 끝난다.
삼각함수의 부정적분
미분 공식을 거꾸로 돌리면 그대로 나오는데, 음의 부호가 붙는 자리가 미분 때와 반대로 옮겨 간다. 미분에서 코사인 쪽에 붙던 마이너스가 적분에서는 사인 쪽에 붙는다. 이 한 칸의 이동이 실수의 대부분을 만든다.