📐 공식 사전
공식을 외우는 대신 어디서 왔는지 따라가 봅니다. 각 공식마다 무엇에 쓰는 공식인지와 어디까지 학습하면 되는지를 먼저 밝히고, 유도 스테퍼·흔한 실수·예제를 지나 인물 이야기·생활 속 쓰임·학습 단원으로 이어집니다.
수와연산
속력·거리·시간
속력은 "같은 시간에 얼마나 갔는가"를 재는 비율이다. 거리·시간·속력 셋 중 둘을 알면 나머지 하나가 정해지므로, 하나의 관계식을 세 가지 물음에 돌려 쓴다.
등차수열의 합
1부터 100까지 더하는 일을 하나씩 하지 않고 한 번에 끝내는 방법이다. 앞과 뒤를 짝지으면 같은 값이 반복된다는 발견 하나로 덧셈이 곱셈이 된다.
등비수열의 합
일정한 비율로 커지는 수들의 합이다. 복리 이자·감염 확산·저장 용량처럼 "배로 늘어나는" 현상은 모두 이 식으로 계산된다.
등차수열과 등비수열의 일반항
등차수열은 같은 수를 계속 더하고, 등비수열은 같은 수를 계속 곱한다. 첫 항에서 n 번째 항까지 가려면 그 동작을 n 번이 아니라 (n − 1) 번 한다. 일반항에 n − 1 이 나오는 이유는 그것뿐이다.
시그마 공식
시그마는 "1부터 n 까지 차례로 더하라"는 명령을 기호 하나로 줄인 것이다. k, k², k³ 의 합에는 매번 더하지 않아도 되는 닫힌 공식이 있고, 이 셋만 손에 있으면 대부분의 합 문제는 대입으로 끝난다.
문자와식
곱셈 공식
곱셈 공식은 전개를 빨리 하려고 외우는 요령이 아니라, 반대로 거슬러 올라가 인수분해를 하기 위한 지도다. 전개와 인수분해는 같은 식을 양방향으로 오가는 한 쌍이다.
근의 공식
근의 공식은 "어떤 이차방정식이든 계수만 알면 해를 구할 수 있다"는 선언이다. 인수분해가 되지 않아도, 답이 무리수여도 상관없다. 완전제곱식으로 묶는 한 가지 아이디어를 일반적인 계수 a, b, c 에 대해 끝까지 밀어붙인 결과다.
이차방정식 근과 계수의 관계
두 근을 직접 구하지 않고도 근의 합과 곱을 계수만으로 알 수 있다. 근을 몰라도 근에 대해 말할 수 있다는 점이 이 관계의 힘이다.
지수법칙
거듭제곱은 같은 수를 몇 번 곱했는지를 적은 표기다. 그래서 거듭제곱끼리 곱하면 "몇 번"을 더하면 되고, 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 "몇 번"을 곱하면 된다. 지수법칙은 새 규칙이 아니라 곱한 횟수를 세는 일이다.
함수
일차함수의 기울기와 절편
일차함수의 그래프는 직선이고, 그 직선의 모양은 두 수로 완전히 결정된다 — 얼마나 기울었는지(기울기)와 어디서 세로축을 만나는지(y절편). 이 둘을 읽는 눈이 함수 단원 전체의 기초가 된다.
이차함수의 꼭짓점(표준형)
이차함수의 식을 표준형으로 고치면 그래프의 꼭짓점이 식 안에 그대로 드러난다. 최댓값·최솟값 문제가 결국 "꼭짓점 찾기"인 이유가 여기에 있다.
로그의 성질
로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 장치다. 계산기가 없던 시절 천문학자들의 계산 시간을 몇 분의 일로 줄여 준 도구이며, 지금도 지진 규모나 소리 크기처럼 아주 넓은 범위의 수를 다룰 때 쓰인다.
삼각함수의 기본 관계
사인과 코사인은 따로 노는 두 값이 아니라 단위원 위 한 점의 좌표다. 그래서 피타고라스 정리가 그대로 삼각함수의 관계식이 된다.
삼각함수의 덧셈정리
sin(α + β) 는 sin α + sin β 가 아니다. 각을 더하면 두 각의 sin 과 cos 이 서로 섞여 나온다. 2배각·반각 공식이 모두 이 식에서 따라 나오므로, 삼각함수 단원의 실질적인 출발점이다.
기하
직사각형의 넓이
직사각형의 넓이는 "단위 정사각형이 몇 개 들어가는가"를 세는 일이다. 가로로 한 줄에 놓이는 개수와 줄 수를 곱하면 개수가 나온다 — 곱셈이 넓이를 재는 도구가 되는 첫 순간이다.
원의 둘레와 넓이
원은 직선 도형이 아니라서 넓이를 바로 셀 수 없다. 그래서 원을 잘게 잘라 직사각형에 가깝게 펴는 발상을 쓴다. 반지름 하나로 둘레와 넓이가 모두 정해진다는 것이 핵심이다.
피타고라스 정리
직각삼각형에서 세 변의 길이는 제멋대로가 아니라 하나의 관계로 묶여 있다. 두 변을 알면 나머지 하나가 정해진다는 이 사실이, 좌표평면의 거리 공식부터 GPS까지 이어진다.
삼각형의 넓이
삼각형은 평행사변형의 절반이다. 같은 삼각형 두 개를 뒤집어 붙이면 밑변 a, 높이 h 인 평행사변형이 되기 때문이다. 높이는 "밑변에 수직인 거리"라는 약속만 지키면 어떤 삼각형에서도 같은 식이 통한다.
부채꼴의 호의 길이와 넓이
부채꼴은 원을 잘라낸 한 조각이다. 중심각이 360° 의 몇 분의 몇인지, 딱 그 비율만큼 호의 길이와 넓이도 나눠 갖는다. 새로 외울 공식이 아니라 원의 둘레와 넓이에 비율을 곱한 것이다.
기둥·뿔·구의 부피
기둥은 밑면을 높이만큼 쌓아 올린 것이라 (밑넓이) × (높이) 다. 뿔은 같은 밑면·같은 높이의 기둥에 물을 부어 보면 정확히 세 번 만에 차므로 그 3분의 1이다. 구의 부피는 아르키메데스가 밝힌 대로 그 구가 꼭 들어가는 원기둥의 3분의 2다.
닮음비와 넓이비·부피비
닮은 도형에서 길이가 m : n 이면 넓이는 그 제곱, 부피는 세제곱의 비가 된다. 길이를 2배로 키우면 넓이는 4배, 부피는 8배다. 지도의 축척, 모형과 실물, 큰 피자와 작은 피자의 가성비가 모두 이 한 줄 위에 있다.
원주각과 중심각
같은 호를 바라보는 원주각은 중심각의 절반이다. 그래서 원 위 어느 자리에서 바라보든 원주각의 크기가 똑같다. 지름을 바라보는 각이 언제나 직각인 것도 여기서 곧바로 따라 나온다.
두 변과 낀각으로 구하는 삼각형의 넓이
높이를 직접 잴 수 없어도 두 변과 그 사이 각만 알면 넓이가 나온다. 삼각형의 넓이 공식에서 높이를 삼각비로 바꿔 쓴 것이 전부다. 땅의 넓이를 재는 측량은 대부분 이 식으로 한다.
두 점 사이의 거리
좌표평면 위 두 점 사이의 거리는 자를 대지 않고 계산으로 나온다. x 의 차이와 y 의 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형을 그리면 거리는 그 빗변이기 때문이다. 피타고라스 정리를 좌표 위로 옮긴 것이 전부다.
원의 방정식
원은 "한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임"이다. 이 한 문장을 좌표로 옮기면 곧바로 원의 방정식이 된다. 두 점 사이의 거리 공식에서 거리를 r 로 두고 양변을 제곱한 것과 같다.
사인법칙과 코사인법칙
직각삼각형이 아니어도 변과 각을 오갈 수 있게 해 주는 두 법칙이다. 사인법칙은 변과 마주 보는 각의 sin 이 비례한다는 것이고, 코사인법칙은 피타고라스 정리에 보정항 −2bc cos A 를 붙인 것이다. A = 90° 를 넣으면 그대로 피타고라스 정리가 된다.
벡터의 내적
내적은 한 벡터가 다른 벡터 방향으로 얼마나 나아가는지를 재는 값이다. 각으로 쓴 식과 성분으로 쓴 식이 같다는 것이 핵심 — 그래서 좌표만 알면 두 벡터가 이루는 각을 구할 수 있고, 수직인지 아닌지는 내적이 0 인지로 판정된다.
확률과통계
분산과 표준편차
평균이 같아도 자료가 몰려 있는지 흩어져 있는지는 전혀 다르다. 각 자료가 평균에서 얼마나 떨어졌는지를 제곱해 평균 낸 것이 분산이고, 제곱하면서 부풀어 오른 단위를 원래대로 되돌린 것이 표준편차다.
순열과 조합
순열은 뽑아서 줄까지 세우는 경우의 수, 조합은 줄 세우지 않고 뽑기만 하는 경우의 수다. 조합이 순열을 r! 로 나눈 값인 이유는 하나의 조합이 순열에서는 r! 번 거듭 세어지기 때문이다.
조건부확률
어떤 사건이 일어났다는 정보가 주어지면 세는 무대 자체가 그만큼 좁아진다. 조건부확률은 분모가 전체 1 에서 P(A) 로 바뀐 것이 전부다. 문제에 "~인 것 중에서"라는 말이 보이면 이 식이다.
정규분포의 표준화
정규분포는 평균과 표준편차에 따라 모양이 제각각이라 표를 무한히 만들 수는 없다. 그래서 평균만큼 빼서 중심을 0 으로 옮기고, 표준편차로 나눠 폭을 1 로 맞춘다. 모든 정규분포가 하나의 표준정규분포로 포개진다.