🧠 외울 것과 되살릴 것

유도가 무한분할이라 시험장에서 되살릴 것이 못 된다. 둘레와 넓이를 가르는 것이 전부다.

붙잡을 자리 둘레와 넓이를 가르는 것이 전부다. 넓이는 제곱이 붙고(πr², 단위 cm²) 둘레는 안 붙는다(2πr, 단위 cm). 어느 쪽인지 헷갈리면 단위를 먼저 떠올린다. 넓이를 묻는데 답에 cm 가 나왔다면 둘레 식을 쓴 것이다.

뿔의 1/3 과 구의 4/3 은 엄밀한 유도가 적분이거나 아르키메데스의 비율 인용이다. 시험장에서 재현할 것이 아니라 이 두 수만 외운다.

붙잡을 자리 기둥은 밑넓이 × 높이라 셀 것이 없다. 외울 것은 뿔의 1/3 과 구의 4/3 두 수뿐이다. 뿔이 같은 기둥에 꼭 세 번 들어간다는 것, 구는 그것을 감싸는 원기둥의 2/3 라는 것으로 붙잡는다. 지수가 헷갈리면 단위를 본다. 부피는 길이 셋의 곱이라 r 이 세제곱이다.

실 감기 실험은 값을 확인해 주지만 시험장에서 재현할 유도가 아니다. 엄밀한 유도는 적분이므로 4 라는 수를 외운다.

붙잡을 자리 외울 것은 4 하나다. 구를 감싸는 원기둥의 옆넓이 2πr × 2r 이 4πr² 인 것으로 붙잡으면 두 수가 서로를 검산한다. 겉넓이와 부피가 헷갈리면 지수를 본다. 넓이는 길이 둘의 곱이라 r 이 제곱, 부피는 길이 셋의 곱이라 세제곱이다.

식이 짧아 외우는 편이 싸다. 유도는 왜 참인지 한 번 보면 족하다.

붙잡을 자리 빗변이 어느 것인지만 틀리지 않으면 된다. 직각을 마주 보는 변이 c 이고 늘 가장 길다. 검산은 3, 4, 5 를 넣는다. 9 + 16 = 25 로 맞아야 한다. 계산한 변이 빗변보다 길게 나왔다면 자리를 바꿔 넣은 것이다.

완전제곱 유도가 여섯 단계라 문제를 푸는 중에 다시 만들 시간이 없다.

붙잡을 자리 외우되 검산할 줄 알아야 한다. 답을 아는 식을 하나 넣어 본다. x² - 3x + 2 = 0 의 근은 1 과 2 인데, 외운 식에 넣어 그 둘이 나오면 부호와 2a 자리가 맞은 것이다. 10초면 끝난다. 틀리는 자리는 늘 둘뿐이다. 분모가 2a 라는 것, 판별식 b² - 4ac 가 근호 안이라는 것.

원주각은 중심각의 절반. 관계가 짧아 외우는 편이 싸다.

붙잡을 자리 원주각은 중심각의 절반이다. 짧아서 외우는 편이 싸다. 헷갈리면 반원을 떠올린다. 지름이 만드는 중심각 180° 의 절반이 90° 이고, 실제로 지름 위의 원주각은 늘 직각이다. 같은 호를 보는 원주각이 모두 같은 것도 이 관계에서 나온다.

유도가 다섯 단계라 문제를 푸는 중에 다시 만들 시간이 없다. 대신 식의 모양 자체가 외울 자리를 알려 준다.

붙잡을 자리 분자는 직선의 식에 점을 그대로 넣은 값이고, 분모는 x 계수와 y 계수로 만든 √(a²+b²) 다. 이 두 문장이면 식이 복원된다. 검산은 원점과 직선 3x + 4y − 10 = 0 으로 한다. 분자가 |−10| = 10, 분모가 5 라서 거리가 2 다. 직선을 ax + by + c = 0 꼴로 먼저 정리하지 않으면 분자가 틀린다.

k 의 합은 되살아나지만 k² 의 합은 외운다.

붙잡을 자리 k 의 합은 가우스 짝짓기로 되살아난다. 외울 것은 k² 의 합 하나다. n(n+1)(2n+1)/6 에서 분모 6 과 마지막 자리 2n+1 만 붙잡으면 된다. 검산은 n = 1 을 넣는다. 1·2·3/6 = 1 이고 실제 합도 1 이라 맞는다. n = 2 로 한 번 더 하면 5 가 나와야 한다. k³ 의 합은 따로 외우지 않아도 된다. k 의 합을 제곱한 것이라 {n(n+1)/2}² 이다.

유도는 수선 하나로 끝나지만 시험장에서 틀리는 것은 부호와 자리다. A = 90° 를 넣어 피타고라스로 되돌아오는지로 검산한다.

붙잡을 자리 피타고라스 a² = b² + c² 를 먼저 쓰고 뒤에 −2bc cos A 를 붙인다. 붙는 두 변 b, c 는 각 A 를 끼고 있는 두 변이고 a 는 A 의 대변이다. 부호가 헷갈리면 A = 90° 를 넣는다. cos A 가 0 이 되어 피타고라스로 돌아오면 맞게 쓴 것이고, A 가 예각이면 a 가 더 짧아져야 하므로 보정항은 빠지는 쪽이다.

유도가 길고 계산이 무거워 문제를 푸는 중에 되살릴 수 있는 값이 아니다. 다만 모양이 규칙적이라 외우기는 쉽다.

붙잡을 자리 s 를 먼저 쓴다. 둘레의 절반이다. 그다음 s 에서 세 변을 하나씩 뺀 것을 차례로 곱하고 근호를 씌운다. 인수가 넷이고 s 로 시작해 s − a, s − b, s − c 로 이어지는 모양이라 빠뜨릴 자리가 없다. 검산은 세 변이 3, 4, 5 인 직각삼각형으로 한다. s = 6 이므로 √(6 × 3 × 2 × 1) = 6 이고, 밑변 3 과 높이 4 로 구한 넓이 6 과 맞는다.

지수를 앞으로 내리고 하나 줄인다. 쓰는 빈도가 높아 손에 붙여 두는 편이 낫다.

붙잡을 자리 지수를 앞으로 내리고 지수를 하나 줄인다. 이 두 동작이 전부다. 검산은 x² 로 한다. 2x 가 나와야 하고, x = 1 에서 값이 2 인 것은 그 자리 접선의 기울기와 같다. 상수는 지수가 0 이라 미분하면 사라진다.

정의라 위에서 끌어낼 식이 없다. 대신 할선이 접선으로 가는 그림 한 장이 식을 통째로 되살려 준다.

붙잡을 자리 곡선에 두 점을 찍고 할선을 그린다. 기울기는 세로 차이 f(x+h) − f(x) 를 가로 차이 h 로 나눈 것이고, 뒤 점을 앞 점으로 밀면 할선이 접선이 된다. 그 순간을 lim 기호로 적은 것이 정의다. 분모가 h 라는 것만 붙잡으면 분자는 그림에서 읽힌다.

끼워 넣기는 한 번 보면 납득되지만 문제를 푸는 중에 다시 만들기에는 길다. 식의 대칭 꼴이 외우기 쉽다.

붙잡을 자리 앞을 미분하고 뒤는 그대로, 앞은 그대로 두고 뒤를 미분한 다음 더한다고 붙잡는다. 두 항이 나오는 것이 핵심이고 한 항만 쓰는 것이 가장 흔한 실수다. 검산은 f = g = x 로 한다. (x·x)′ = (x²)′ = 2x 인데 외운 식으로도 1·x + x·1 = 2x 가 나온다. f′g′ 이라면 1 이 되어 어긋난다.

모평균 구간과 꼴이 같고 흩어짐 자리만 다르다. 그 자리 하나를 외운다.

붙잡을 자리 모평균 구간의 σ/√n 자리에 √(p̂(1−p̂)/n) 을 갈아 끼운 것이다. 근호 안이 분산이고 분모에 n 이 있다는 것만 붙잡으면 된다. p̂ = 0.5 일 때 근호 안이 가장 커지므로 구간도 가장 넓어진다. 표본 크기를 정할 때 이 최댓값을 쓴다.

부호 규칙만 외우면 되고, 잊었을 때 단위원에서 되살리는 길이 있다.

붙잡을 자리 sin 은 부호가 그대로 +, cos 는 뒤집혀 −. 이 한 줄이 전부다. 확인은 β = 0 을 넣는다. sin(α + 0) 이 sin α × 1 + cos α × 0 = sin α 로 돌아오면 제대로 쓴 것이다. 부호까지 잊었다면 단위원에서 되살린다. 각 α 와 각 β 인 두 점 사이의 거리를 좌표로 한 번 재고, 같은 현을 β 만큼 되돌려 (1, 0) 에서 또 한 번 재어 맞놓으면 cos(α − β) 가 나온다. 나머지 셋은 대입뿐이다. 2배각도 β 자리에 α 를 넣으면 그 자리에서 나오므로 따로 외우지 않는다.

유도는 세 줄이지만 시험장에서 틀리는 것은 분자의 순서와 부호다. 결과를 외우고 되살리는 길을 따로 둔다.

붙잡을 자리 분자는 아래를 그대로 두고 위를 미분한 것이 먼저다. f′g − fg′ 순서가 헷갈리면 g = 1 을 넣어 본다. f′ 만 남아야 하므로 앞에 오는 것이 f′g 다. 분모는 언제나 제곱이다.

식이 한 줄이고, 애초에 이 식이 성립하도록 고른 밑이 e 다. 되살릴 것이 남아 있지 않다.

붙잡을 자리 e 는 미분해도 변하지 않게 만들려고 고른 수라고 붙잡는다. 그러면 (e^x)′ = e^x 는 그 약속을 다시 읽는 것과 같다. 밑이 e 가 아니면 앞에 ln a 가 붙는데, 검산은 a = e 로 한다. ln e 가 1 이라 원래 식으로 돌아오면 제대로 쓴 것이다. 거듭제곱 x^n 의 미분과 섞이기 쉬운데, 지수함수는 x 가 지수 자리에 있으므로 지수를 앞으로 내리는 규칙이 통하지 않는다.

덧셈정리와 sin h / h 의 극한까지 거슬러야 해서 문제를 푸는 중에 되살릴 값이 아니다. 대신 네 함수가 도는 고리 하나면 된다.

붙잡을 자리 sin → cos → −sin → −cos → sin 으로 도는 고리를 그린다. 미분은 이 방향으로 한 칸, 적분은 반대로 한 칸이다. 부호가 헷갈리면 x = 0 근처를 본다. sin x 는 0 에서 가파르게 오르므로 도함수가 1 이어야 하는데 cos 0 이 1 이라 맞고, cos x 는 0 에서 평평하므로 도함수가 0 이어야 하는데 −sin 0 이 0 이라 맞는다. 탄젠트와 코탄젠트는 외우지 말고 sin ÷ cos 과 cos ÷ sin 에 몫의 미분법을 쓴다. 각각 1/cos²x 와 −1/sin²x 가 나오는데, co 가 붙은 쪽에 음수 부호가 붙는다는 규칙이 코사인과 같다.

성분 곱의 합과 크기·cos 두 표현을 함께 외운다. 내적 0 이면 수직이 핵심이다.

붙잡을 자리 성분끼리 곱해 더하는 쪽과 크기·cos 으로 쓰는 쪽을 함께 붙잡는다. 두 표현이 같은 값이라는 것이 내적의 핵심이다. 검산은 수직인 두 벡터로 한다. (1, 0) 과 (0, 1) 은 성분 계산이 0 이고 cos 90° 도 0 이라 양쪽 다 0 이다. 내적이 0 이면 수직이라는 말이 여기서 나온다.

근호를 두 번 제곱하는 유도라 되살리기 비싸다. a² = b² + c² 관계를 함께 외운다.

붙잡을 자리 a² = b² + c² 를 식과 함께 외운다. 긴 반지름이 가장 크고 초점까지의 거리 c 가 그 안에 들어간다. 헷갈리면 c = 0 을 넣어 본다. 두 초점이 겹쳐 원이 되고 a = b 가 된다. 어느 축이 긴지는 x = 0 과 y = 0 을 차례로 넣어 확인한다. 분모가 큰 쪽이 긴 축이다.

급수 유도가 대학 과정이다. 결과를 외우고 유도는 읽어만 둔다.

붙잡을 자리 θ = π 를 넣어 본다. cos π = -1, sin π = 0 이라 양변이 -1 이 된다. 이 유명한 식이 나오면 제대로 외운 것이다. 오른쪽이 왜 하필 cos 과 sin 인지는 급수를 실수부와 허수부로 갈라 놓은 결과다. 유도는 한 번 읽어 두고 결과를 쓴다.

단위 칸을 세는 그림이 곧 공식이다.

되살리는 길 가로 5, 세로 3 이면 한 줄에 다섯 칸이 놓이고 그런 줄이 세 개다. 세는 그림이 곧 공식이라 따로 외울 것이 없다. 단위가 cm² 인 이유도 같다. 세는 것이 칸이기 때문이다. 넓이를 물었는데 답의 단위가 cm 로 나왔다면 둘레를 구한 것이다.

거리 = 속력 × 시간 하나만 붙잡으면 나머지 둘은 나눗셈으로 나온다.

되살리는 길 거리 = 속력 × 시간 한 줄만 붙잡는다. 나머지 둘은 여기서 나눗셈으로 나온다. 어느 것으로 나눌지 헷갈리면 단위를 본다. km 를 시간으로 나누면 km/h, 곧 속력이다. 단위가 답의 종류를 먼저 알려 준다.

같은 삼각형 둘을 붙이면 평행사변형이다. 그 절반이다.

되살리는 길 같은 삼각형을 하나 더 만들어 뒤집어 붙이면 평행사변형이 된다. 그 넓이가 밑변 × 높이이므로 삼각형은 그 절반이다. 1/2 이 어디서 왔는지 잊었다면 이 그림을 떠올린다. 높이는 밑변에 수직인 거리이지 비스듬한 변의 길이가 아니다.

고르게 나눠 갖는다는 뜻 그대로 더하고 나누면 된다.

되살리는 길 평균은 나눠 갖기다. 다 모아서 사람 수로 나눈다. 거꾸로 묻는 문제가 더 자주 나오는데 그때는 합 = 평균 × 개수 로 되돌린다. 네 과목 평균이 85 라면 합은 340 이므로, 세 과목 점수를 알면 나머지 하나가 바로 나온다. 값이 자료에 없어도 놀라지 않는다. 평균은 나눈 몫이지 자료 중 하나가 아니다.

곱해서 1 이 되는 짝을 양변에 곱하면 나오는 한 줄이다.

되살리는 길 나눗셈은 곱셈을 거꾸로 묻는 일이다. 몫을 x 로 두고 x × (나누는 분수) = (나뉘는 분수) 라 적은 뒤, x 만 남기려고 양변에 나누는 분수의 역수를 곱한다. 역수를 곱하면 1 이 되어 사라진다. 뒤집는 쪽이 헷갈리면 이 순서를 떠올린다. 치워야 하는 쪽은 언제나 나누는 분수다. 검산은 작은 수로 한다. 1 ÷ 1/2 은 1 안에 1/2 이 두 번 들어가므로 2 이고, 뒤집어 곱해도 1 × 2 = 2 로 같다.

덜어 내고 남긴다는 뜻을 그대로 적은 식이라 외울 것이 없다.

되살리는 길 구한 몫과 나머지를 곱하고 더해 처음 수가 나오면 맞다. 나머지가 나누는 수보다 작은지도 함께 본다.

한 꼭짓점에 평행선을 긋고 엇각으로 두 각을 옮기면 평각이 된다. 세 줄이면 끝난다.

되살리는 길 밑변과 평행한 직선을 위 꼭짓점에 긋는다. 양옆의 두 각이 엇각으로 그 직선 위에 올라오고, 가운데 각과 합쳐 직선 하나가 된다. 그래서 180도다. 값 자체는 잊을 일이 거의 없으니 실제로 쓸 때는 방향이 중요하다. 두 각을 알면 180 에서 빼고, 이등변삼각형이면 같은 각 두 개를 x 로 두고 식을 세운다. 다각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 삼각형 몇 개로 갈리는지만 세면 된다. n 각형은 n − 2 개다. 초등에서는 세 각을 찢어 한 점에 모아 보고, 중1 에서 엇각을 배우면 위처럼 증명한다.

두 수를 최대공약수로 나눠 쓰면 G 가 두 번 나오는 것이 바로 보인다.

되살리는 길 a = G × a', b = G × b' 로 적는 것에서 시작한다. 남은 a' 와 b' 는 더 나눌 공통 약수가 없으므로 최소공배수는 G × a' × b' 다. 여기에 G 를 곱하면 G 가 둘이 되고, 하나씩 나눠 묶으면 a × b 가 된다. 쓸 때는 방향을 기억하는 편이 빠르다. 최대공약수를 먼저 구하고 두 수의 곱을 그것으로 나누면 최소공배수다. 두 수가 서로소이면 G 가 1 이라 최소공배수가 곧 두 수의 곱이다.

높이를 따라 자른 조각을 반대쪽으로 옮기면 직사각형이 된다. 그 직사각형의 넓이가 그대로 답이다.

되살리는 길 종이에 평행사변형을 그리고 높이를 따라 한 번 자른다. 왼쪽 삼각형을 오른쪽에 붙이면 가로 a, 세로 h 인 직사각형이 된다. 오려 붙이기만 했으니 넓이는 변하지 않는다. 어느 길이가 높이인지 헷갈리면 직사각형이 되었을 때 세로가 무엇이었는지 떠올린다. 비스듬한 변은 잘라 낸 삼각형의 긴 변이지 세로가 아니다.

같은 사다리꼴 둘을 돌려 붙이면 밑변이 a + b 인 평행사변형이다. 그 절반이다.

되살리는 길 사다리꼴을 두 장 오려 한 장을 180도 돌려 붙여 본다. 윗변과 아랫변이 한 줄로 이어져 a + b 가 되고 높이는 그대로다. 그 평행사변형의 넓이가 (a + b) × h 이므로 사다리꼴은 그 절반이다. 괄호를 잊으면 아랫변에만 높이를 곱하게 되니 더하기를 먼저 한다는 것만 지킨다.

마름모를 꼭 둘러싸는 직사각형의 절반이다. 그 직사각형의 가로와 세로가 두 대각선이다.

되살리는 길 마름모 둘레에 대각선과 나란한 직사각형을 그려 본다. 가로가 d₁, 세로가 d₂ 이고 마름모는 그 절반이다. 절반인 까닭은 대각선이 가른 작은 삼각형 여덟 개가 안에 넷, 밖에 넷이기 때문이다. 이 그림은 두 대각선이 수직인 사각형이면 그대로 통한다.

정사각형을 가로세로로 나눠 겹치는 칸을 세면 분자끼리 · 분모끼리 곱한 값이 그대로 나온다.

되살리는 길 정사각형 한 장을 세로로 a 등분, 가로로 c 등분한다. 칸이 모두 ac 개이므로 한 칸이 1/(ac) 이다. 두 분수가 겹치는 자리는 그 칸이 가로 b 개, 세로 d 개로 놓인 직사각형이라 칸 수가 bd 개다. 통분을 해야 하는지 헷갈리면 이 그림을 떠올린다. 칸을 새로 만드는 일이라 크기를 맞출 일이 없다.

비례식을 비율로 고쳐 양변에 두 분모를 곱하면 그 자리에서 나온다.

되살리는 길 a : b = c : d 를 a/b = c/d 로 고치고 양변에 b × d 를 곱한다. 왼쪽에서 b 가, 오른쪽에서 d 가 지워져 ad = bc 만 남는다. 어느 짝을 곱하는지 헷갈리면 비례식 위에 가위표를 그려 본다. 대각선으로 이어진 둘씩이 짝이다. 작은 수로 검산해도 된다. 1 : 2 = 3 : 6 에서 1 × 6 = 6 이고 2 × 3 = 6 이다.

곱이 일정하다는 말을 식으로 옮긴 것뿐이라 되살리기 쉽다.

되살리는 길 표에서 xy 를 한 번 계산해 본다. 값이 같으면 반비례이고 그 값이 곧 a 다.

원 전체에 중심각의 비율 θ/360° 를 곱한 것이다.

되살리는 길 부채꼴은 원에서 θ/360° 만큼 떼어 온 조각이다. 호는 둘레에, 넓이는 원의 넓이에 그 비율을 곱한다. 반원으로 검산한다. θ = 180° 면 비율이 1/2 이라 호는 πr, 넓이는 πr²/2 가 나와야 한다.

한 꼭짓점에서 대각선을 그어 삼각형 n − 2 개로 가른 뒤 180도를 곱한 것이다. 그림 한 장이면 다시 나온다.

되살리는 길 오각형을 그려 한 꼭짓점에서 대각선 둘을 긋는다. 삼각형이 셋 보이므로 180 × 3 = 540도다. n − 2 인지 n − 1 인지 헷갈리면 사각형으로 검산한다. 대각선 하나에 삼각형 둘, 합이 360도로 맞는다.

한 꼭짓점에서 n − 3 개, 꼭짓점이 n 개, 두 번 셌으니 2로 나눈다. 세 마디면 끝난다.

되살리는 길 꼭짓점 하나를 잡고 몇 개가 나가는지 센다(이웃 둘과 자기 자신을 빼서 n − 3). 꼭짓점 수 n 을 곱하고 2로 나눈다. 오각형으로 검산한다. 5 × 2 ÷ 2 = 5 이고 별 모양으로 다섯 개가 그려진다.

전개도를 그리면 밑면 원 둘과 옆면 직사각형 하나가 보이고, 옆면의 가로가 밑면의 둘레다.

되살리는 길 통조림 깡통의 종이 띠를 벗겨 펴는 장면을 떠올린다. 띠의 가로는 깡통을 한 바퀴 감던 길이라 2πr, 세로는 깡통의 키라 h 다. 여기에 뚜껑과 바닥 원 둘을 더한다. πr² 과 2πr 이 헷갈리면 단위를 본다. 넓이라야 하는 자리에는 제곱이 있어야 한다.

약수는 소인수를 몇 개 가져갈지 고르는 일이라는 한 문장에서 나온다.

되살리는 길 소인수분해를 먼저 한다. 소인수 하나를 0 개부터 지수까지 고를 수 있으므로 고르는 방법은 지수보다 1 만큼 많다. 소인수마다 이 수를 구해 전부 곱한다. 왜 1 을 더하는지 잊으면 0 개를 고르는 경우를 떠올린다. 아무것도 안 가져간 결과가 약수 1 이다. 검산은 작은 수로 한다. 12 = 2² × 3 이면 3 × 2 = 6 인데 실제로 1, 2, 3, 4, 6, 12 로 6 개다.

분배법칙이 음수에서도 깨지지 않으려면 그 값일 수밖에 없다는 것이 여섯 줄로 나온다.

되살리는 길 a × 0 = 0 에서 0 을 b + (−b) 로 바꿔 넣고 분배법칙을 쓰는 것이 전부다. 한 번 하면 양수 × 음수 = 음수가 나오고, 앞자리를 음수로 바꿔 한 번 더 하면 음수 × 음수 = 양수가 나온다. 계산할 때는 부호를 먼저 정하고 절댓값을 곱한다. 음수가 몇 개인지만 세면 된다. 짝수 개면 양수, 홀수 개면 음수다.

꼭짓점마다 내각과 외각이 180도를 이룬다. 그 180도를 n 번 모았다가 내각의 합을 빼면 n 이 지워지고 360도만 남는다.

되살리는 길 볼록다각형을 하나 그리고 변을 한 방향으로 쭉 늘여 외각을 표시해 본다. 그 외각들을 한자리에 모으면 한 바퀴가 된다. 식으로 하려면 180도 × n 에서 (n − 2) × 180도를 빼고, 답에 n 이 안 남는 것만 확인하면 된다. 한 내각과 한 외각이 헷갈리면 더해서 180도가 되는지 검산한다. 정오각형은 108도와 72도다.

옆면을 펼치면 반지름이 모선, 호가 밑면의 둘레인 부채꼴이다. 그 넓이가 ℓ 과 2πr 을 곱한 것의 절반이라 πrℓ 이 된다.

되살리는 길 고깔모자를 한 줄 잘라 펴는 장면을 떠올린다. 펴 놓은 부채꼴의 반지름은 모선 ℓ, 호는 밑면을 감고 있던 둘레 2πr 이다. 부채꼴의 넓이는 반지름 곱하기 호의 절반이라 πrℓ 이고, 여기에 밑면 πr² 을 더한다. 중심각은 구할 필요가 없다. 호의 길이만 있으면 넓이가 나온다.

몫이 일정하다는 말을 식으로 옮긴 것뿐이라 되살리기 쉽다.

되살리는 길 표에서 y 를 x 로 한 번 나눠 본다. 값이 같으면 정비례이고 그 값이 곧 a 다. 정비례인지 반비례인지 헷갈리면 어느 쪽이 일정한지를 본다. 몫이 일정하면 정비례, 곱이 일정하면 반비례다.

기울기의 뜻(x 가 1 늘 때 y 가 얼마 변하는가)에서 바로 나온다.

되살리는 길 기울기는 x 가 1 늘 때 y 가 얼마 변하는가다. 두 점이 주어지면 y 의 차이를 x 의 차이로 나눈다. b 는 x = 0 을 넣었을 때 남는 값이라 그래프가 y축을 지나는 자리다. 식을 외우는 것보다 x = 0 을 넣어 보는 습관이 오래 간다.

a 를 몇 번 곱했는지 세면 다섯 줄이 전부 그대로 나온다.

되살리는 길 지수는 몇 번 곱했는지 적은 수다. a² × a³ 은 두 번과 세 번을 이어 붙인 것이라 다섯 번이 된다. 곱이 지수의 덧셈이 되는 이유가 이것뿐이다. 나눗셈은 약분이라 뺄셈이 되고, (a²)³ 은 두 개짜리 묶음이 세 개라 곱셈이 된다. 괄호 밖의 지수는 괄호 안이 곱일 때만 각 인수에 나누어 붙는다. 헷갈리면 작은 수로 이어 붙여 세어 본다.

넓이는 길이 둘, 부피는 길이 셋의 곱이라 제곱과 세제곱이 된다.

되살리는 길 길이가 k 배면 넓이는 k², 부피는 k³ 배다. 넓이는 길이 둘, 부피는 길이 셋의 곱이기 때문이다. 실감이 안 나면 k = 2 로 확인한다. 한 변이 2배인 정사각형에는 원래 칸이 네 개, 정육면체에는 여덟 개 들어간다. 매스랩의 닮음비 확대경이 그 장면을 그대로 보여 준다.

외울 식이 아니라 AA 닮음 한 번에서 나온다. 평행이면 동위각이 같다는 사실이 출발점이다.

되살리는 길 먼저 작은 삼각형과 큰 삼각형을 겹쳐 AD : AB = AE : AC 를 쓴다. 그다음 AB 를 AD + DB 로, AC 를 AE + EC 로 갈라 넣고 정리하면 조각끼리의 비가 된다. 검산은 AD = 2, DB = 3, AE = 4 로 두는 것이다. EC 가 6 이어야 한다.

중점이라는 말이 닮음비 1 : 2 를 바로 준다. 그 한 줄에서 대응각과 대응변이 함께 나온다.

되살리는 길 AM : AB = AN : AC = 1 : 2 와 공통인 각 A 를 적고 SAS 닮음을 쓴다. 대응각이 같으니 나란하고 대응변의 비가 1 : 2 이니 절반이다. 검산은 BC = 10 으로 두는 것이다. MN 이 5 여야 한다.

중점연결정리 한 줄이면 삼각형 GDE 와 삼각형 GAB 의 닮음비가 1 : 2 로 정해진다.

되살리는 길 두 중점 D 와 E 를 잇고 그것이 AB 의 절반이자 AB 와 나란함을 적는다. 엇각으로 두 삼각형이 닮음이고 닮음비가 1 : 2 이니 꼭짓점 쪽이 두 몫이다. 검산은 중선이 9 인 경우다. 6 과 3 으로 갈려야 한다.

대각선을 하나 그으면 중점연결정리를 쓸 삼각형이 둘 생긴다. 두 조각을 이어 붙인 길이가 답이다.

되살리는 길 대각선 AC 의 중점 P 를 잡는다. 삼각형 ABC 에서 MP 는 b 의 절반, 삼각형 ACD 에서 PN 은 a 의 절반이니 더한다. 검산은 a = b 인 평행사변형이다. MN 이 a 와 같아야 한다.

각이 서로 자리를 바꿔 들어가 세 삼각형이 전부 닮은꼴이 된다. 비례식 하나면 끝난다.

되살리는 길 각 ACH 가 각 B 와 같다는 것부터 적는다. 그러면 작은 삼각형 둘이 닮음이고 y : h = h : x 가 나온다. 안쪽에 h 가 둘 있으니 h 를 제곱한 값이 xy 다. 검산은 x = 2, y = 8 이다. h 가 4 여야 한다.

내심에서 세 꼭짓점을 잇는 그림 하나만 떠올리면 30초 안에 다시 나온다.

되살리는 길 세 조각의 높이가 전부 r 이라는 것만 붙잡는다. 검산은 세 변이 3, 4, 5 인 직각삼각형이다. 넓이 6, 둘레 12 이므로 r 이 1 로 나와야 한다.

그림 하나만 떠올리면 된다. 꼭지각의 이등분선을 그으면 SAS 합동이 서고, 밑각이 같다는 것과 밑변이 수직으로 이등분된다는 것이 그 한 줄에서 함께 나온다.

되살리는 길 AB = AC, 이등분된 두 각, 공통변 AD 를 적고 SAS 합동을 쓴다. 대응각과 대응변을 읽으면 밑각이 같고 BD = DC 이며, D 에서 만나는 두 각이 같고 합이 180° 이므로 각각 90° 다. 검산은 꼭지각이 40° 인 경우다. 밑각이 각각 70° 로 나와 40 + 70 + 70 = 180 이 맞아야 한다.

대각선을 하나 그으면 엇각 두 쌍과 공통변이 생겨 합동 하나가 선다. 그 합동이 내놓은 AB = DC 가 두 번째 합동의 재료라, 결론 셋은 형제가 아니라 순서가 있는 사슬이다.

되살리는 길 대각선 AC 를 긋고 엇각 두 쌍과 공통변으로 ASA 합동을 쓴다. 대변과 대각이 여기서 나온다. 그다음 삼각형 OAB 와 삼각형 OCD 에서 방금 얻은 AB = CD 와 엇각 두 쌍으로 한 번 더 ASA 합동을 쓰면 대각선이 서로를 이등분한다. 검산은 ∠A 가 110° 인 경우다. ∠C 가 110°, ∠B 와 ∠D 가 각각 70° 로 나와 네 각의 합이 360° 여야 한다.

직사각형은 평행사변형이라 대변이 같고, 거기에 직각 둘과 공통변을 보태면 SAS 합동이 바로 선다. 그 합동의 대응변이 두 대각선이다.

되살리는 길 대변 AB 와 DC, 직각 ∠ABC 와 ∠DCB, 공통변 BC 를 적고 SAS 합동을 쓴다. 대응변이 AC 와 DB 라 두 대각선의 길이가 같다. 검산은 AC 가 10 인 경우다. BD 도 10 이고 네 조각이 전부 5 이므로 OB 가 5 로 나와야 한다.

마름모는 평행사변형이라 대각선이 서로를 이등분하고 네 변이 같으니 SSS 합동이 바로 선다. 나뉜 두 각이 같은데 합이 평각이므로 각각 직각이다.

되살리는 길 OB = OD, AB = AD, 공통변 AO 를 적고 SSS 합동을 쓴다. ∠AOB 와 ∠AOD 가 같은데 더하면 180° 이니 각각 90° 다. 검산은 ∠ABO 가 35° 인 경우다. 삼각형 ABO 의 세 각이 90° 와 35° 와 나머지이므로 ∠BAO 가 55° 로 나와야 한다.

마디 길이만큼 10 을 곱하고 빼는 한 동작이다. 9 의 개수를 외우는 것보다 이 동작이 빠르고 틀리지 않는다.

되살리는 길 x 로 두고 마디 길이만큼 10 을 곱한 뒤 뺀다. 0.363636... 이면 100x − x = 36 이라 x = 36/99 = 4/11 이다. 순환하지 않는 부분이 앞에 있으면 그만큼 한 번 더 곱해서 맞춘다. 0.1666... 은 10x = 1.666..., 100x = 16.666... 이라 90x = 15 가 되어 x = 1/6 이다. 분모의 9 와 0 의 개수를 외우려 들면 이 경우에서 반드시 틀린다.

겹치지 않으면 이어서 센다는 한 문장에서 둘 다 나온다. 곱은 그 셈을 되풀이한 것이다.

되살리는 길 문장에 "또는"이 있으면 더하고 "그리고"가 있으면 곱한다. 왜 그런지는 표를 그리면 보인다. 둘 중 하나만 고르는 상황은 목록을 이어 붙이는 것이라 길이가 더해지고, 하나 고르고 또 고르는 상황은 같은 크기의 묶음이 여러 개 생기는 것이라 그 덧셈이 곱셈으로 줄어든다. 합의 법칙을 쓸 때는 겹치는 것이 있는지 먼저 본다. 겹치면 겹친 만큼 빼야 한다.

일어나거나 일어나지 않거나 둘 중 하나라는 한 문장에서 나온다.

되살리는 길 전체가 1 이고 두 쪽으로 갈리므로 한쪽을 알면 다른 쪽은 빼면 된다. 쓸 자리를 알아보는 것이 더 중요하다. "적어도 하나"라는 말이 보이면 거의 항상 여사건이다. 적어도 하나가 6 이라면 여사건은 하나도 6 이 아닌 경우이고, 그쪽은 5 × 5 로 한 번에 세어진다. 여사건을 잘못 잡는 일만 조심한다. "적어도 하나"의 반대는 "하나도 없다"이지 「모두」가 아니다.

분배법칙으로 전개하면 2ab 가 왜 생기는지 그 자리에서 보인다.

되살리는 길 (a + b)(a + b) 를 그대로 전개하면 ab 가 두 번 나온다. 2ab 의 2 는 거기서 온다. 잊었으면 a = b = 1 을 넣어 본다. 좌변은 2² = 4, 우변도 1 + 2 + 1 = 4 로 맞아야 한다. 그림으로는 한 변이 a + b 인 정사각형을 네 조각으로 자른 것이다.

전개하면 −ab 와 +ab 가 그 자리에서 지워진다. 외울 것은 가운데 항이 없다는 사실 하나다.

되살리는 길 분배법칙으로 한 번 펼치면 끝난다. a 를 (a−b) 에 곱하고 b 를 (a−b) 에 곱하면 −ab 와 +ab 가 나란히 나와 지워진다. 부호가 헷갈리면 a = 3, b = 1 을 넣어 본다. 좌변은 4 × 2 = 8, 우변도 9 − 1 = 8 이다. 결과는 늘 앞의 제곱에서 뒤의 제곱을 빼는 쪽이다.

분배법칙 두 번이면 나온다. 외우는 대신 일차항은 합, 상수항은 곱이라고 읽는다.

되살리는 길 두 괄호를 그대로 펼치면 x² 과 ab 는 바로 나오고 일차항만 bx 와 ax 둘로 갈라진다. 그 둘을 묶으면 (a+b)x 다. 잊었으면 (x+2)(x+3) 을 직접 펼쳐 본다. x² + 5x + 6 이 나오는데 5 는 2+3, 6 은 2×3 이다. 이 두 자리를 확인하면 공식이 되살아난다.

완전제곱으로 묶는 과정이 곧 꼭짓점이다.

되살리는 길 일반형에서 x² 와 x 를 a 로 묶고 괄호 안을 완전제곱으로 만든다. 더한 만큼 다시 빼 주는 그 한 걸음이 전부다. 부호가 불안하면 완성한 식을 도로 전개해 원래 식이 나오는지 본다. y = a(x - p)² + q 에서 x = p 일 때 괄호가 0 이 되므로 그 자리가 꼭짓점이다.

직각삼각형 한 장을 그려 대변 · 밑변 · 빗변을 표시하면 세 비가 그림에서 읽힌다. 외울 표가 아니다.

되살리는 길 직각삼각형을 그리고 기준각에 표를 한다. 분모는 셋 중 둘이 빗변이다. 사인은 기준각과 떨어져 마주 보는 변을 빗변으로 나누고, 코사인은 기준각에 붙은 변을 빗변으로 나누고, 탄젠트만 빗변을 쓰지 않는다. 세 값이 맞는지는 3 : 4 : 5 삼각형으로 검산한다.

삼각형 두 장을 그리면 아홉 칸이 전부 나온다. 표를 외우면 한 칸이 흔들릴 때 되살릴 길이 없다.

되살리는 길 정삼각형 반쪽(1 : √3 : 2)과 정사각형 반쪽(1 : 1 : √2)을 그린다. 각이 작으면 마주 보는 변도 짧다는 것으로 sin 30° 가 1/2 인지 √3/2 인지 가린다.

편차를 제곱해 평균 내고, 제곱근으로 단위를 되돌린다.

되살리는 길 편차를 그냥 더하면 0 이라 흩어짐을 잴 수 없다. 그래서 제곱해 부호를 없애고 평균 낸 것이 분산이다. 제곱한 값이라 단위가 원래와 달라져서, 제곱근으로 되돌린 것이 표준편차다. 자료가 전부 같으면 편차가 모두 0 이라 분산도 0 이다. 이것으로 검산한다.

삼각형 넓이 식의 높이를 b sin C 로 바꿔 쓴 것뿐이다.

되살리는 길 넓이는 늘 밑변 × 높이 ÷ 2 다. 높이를 잴 수 없을 때 그 높이를 b sin C 로 바꿔 쓴 것뿐이다. C = 90° 를 넣어 검산한다. sin 90° = 1 이라 ab/2 로 돌아오고, 이는 직각을 낀 두 변으로 구하는 넓이와 같다.

제곱근의 약속 한 줄에서 곧바로 나온다. 외우면 오히려 a 의 부호를 놓친다.

되살리는 길 a = −3 을 넣어 본다. √9 는 3 이지 −3 이 아니므로 √(a²) = −a 여야 한다는 것이 바로 보인다.

제곱하면 둘 다 ab 이고 둘 다 양수다. 제곱이 같은 두 양수는 같은 수라는 한 줄에서 나온다.

되살리는 길 외울 것은 「근호는 곱셈과 나눗셈을 통과한다」 한 문장이다. 되살릴 때는 제곱해 본다. 양쪽을 제곱하면 둘 다 ab 가 되고 둘 다 양수이므로 같을 수밖에 없다. 실제로 쓰는 자리는 두 곳이다. 근호 밖으로 빼기(√12 = √4 √3 = 2√3)와 분모의 유리화다. 둘 다 이 성질을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽은 것이다. 덧셈에서는 성립하지 않는다. √2 + √3 이 √5 가 아닌 것은 위 유도의 첫 줄이 깨지기 때문이다. (√a + √b)² 은 a + b 가 아니라 a + b + 2√(ab) 다.

수선이 밑변을 이등분하므로 빗변 a, 밑변 a 의 절반인 직각삼각형이 생긴다. 피타고라스 정리 한 번이면 높이가 나온다.

되살리는 길 정삼각형을 하나 그리고 수선을 내려 반으로 접어 본다. 직각삼각형의 빗변이 a, 밑변이 a 의 절반이므로 높이의 제곱은 a 의 제곱의 4 분의 3 이다. 높이에 √3/2, 넓이에 √3/4 중 어느 것이 붙는지 헷갈리면 넓이에는 반으로 나누는 단계가 한 번 더 있다는 것만 떠올린다. a = 2 로 검산하면 높이도 √3, 넓이도 √3 으로 둘 다 간단히 나온다.

대각선이 정사각형을 두 변이 a 인 직각삼각형 둘로 가른다. 피타고라스 정리에서 d 의 제곱이 2a² 으로 바로 나온다.

되살리는 길 정사각형에 대각선을 하나 긋고 반쪽만 본다. 직각을 낀 두 변이 둘 다 a 이므로 d 의 제곱이 a² + a² = 2a² 이다. √2 가 붙는지 2 가 붙는지 헷갈리면 제곱을 벗기는 단계가 하나 있었다는 것을 떠올린다. a = 1 로 검산하면 d 가 √2 로 1.41 쯤이고, 그림에서 대각선이 변보다 조금 긴 것과 맞는다.

중심에서 내린 수선이 현을 이등분해 반지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 생기기 때문이다.

되살리는 길 중심에서 현에 수선을 긋는다. 절반짜리 직각삼각형이 보이면 끝이다. 빗변이 반지름, 한 변이 중심까지의 거리이므로 나머지 한 변이 현의 절반이다. 마지막에 2 를 곱하는 것만 잊지 않는다.

곱해서 근호가 사라지는 것을 위아래에 함께 곱하면 값은 그대로다.

되살리는 길 분모가 한 항이면 그 근호를 자기 자신에 곱한다. 두 항이면 부호만 바꾼 켤레를 곱해 합차공식으로 만든다. 어느 쪽이든 분자에도 같은 것을 곱해야 값이 안 변한다. 곱한 것이 1 이기 때문이다.

제곱 공식에 (a+b) 를 한 번 더 곱하면 계수 3 이 모이는 과정이 그대로 보인다.

되살리는 길 (a+b)² 을 먼저 적고 거기에 (a+b) 를 곱한다. 30초면 계수 3 두 개가 직접 나온다. 급하면 a = b = 1 로 검산한다. 좌변은 2³ = 8 이고 우변도 1 + 3 + 3 + 1 = 8 이다. (a−b)³ 은 b 의 지수가 홀수인 항만 음수라고 붙잡는다. 첫 항부터 부호가 번갈아 간다.

오른쪽을 한 번 전개하면 중간 항이 지워지는 것이 바로 보인다. 외우려 들면 가운데 부호를 틀린다.

되살리는 길 부호가 헷갈리면 오른쪽을 직접 펼쳐 본다. (a+b)(a²−ab+b²) 에서 a²b 와 ab² 가 각각 부호 반대로 두 번 나와 지워지고 a³ 과 b³ 만 남는다. 10초 확인법도 있다. 괄호 안 가운데 항의 부호는 앞 괄호의 부호와 반대다. 합에는 −ab, 차에는 +ab 다. 이 두 자리를 섞어 쓰는 것이 거의 유일한 실수다. 합과 곱만 주어진 문제라면 곱셈 공식의 변형 편 쪽이 빠르다.

이항 한 번이면 끝난다. 외울 공식이 아니라 아는 공식을 다른 문자에 대해 푼 것이다.

되살리는 길 제곱 공식을 먼저 적고 2ab 를 넘긴다. 그것이 전부다. 세제곱 쪽도 같은 요령이다. (a+b)³ 을 적고 가운데 두 항을 3ab(a+b) 로 묶은 뒤 넘기면 된다. 어느 쪽을 넘길지 헷갈리면 a = b = 1 로 확인한다. a²+b² 은 2 이고 (a+b)² − 2ab 도 4 − 2 = 2 로 맞는다. 차의 제곱도 같은 이항 한 번이다. (a−b)² = (a+b)² − 4ab 이고, 두 제곱 공식을 나란히 놓고 2ab 의 부호만 비교하면 4ab 차이가 바로 보인다.

앞의 두 항을 한 덩어리로 보면 이미 아는 두 항의 제곱이다. 유도가 한 걸음으로 끝난다.

되살리는 길 (a+b) 를 한 글자로 생각하고 두 항의 제곱 공식을 쓴다. 그러면 제곱 세 개와 교차항 세 개가 자연히 나온다. 교차항이 셋인 것은 세 항에서 둘씩 고르는 방법이 세 가지라서이고, 각각에 2 가 붙는다. 개수가 헷갈리면 a = b = c = 1 로 확인한다. 좌변은 3² = 9 이고 우변도 3 + 6 = 9 다.

둘을 묶는 한 수로 아는 공식에 닿는다.

되살리는 길 a 와 b 를 한 덩어리로 묶는 것이 전부다. 두 세제곱의 합을 (a+b)의 세제곱에서 3ab(a+b) 를 뺀 꼴로 바꾸면 세제곱이 둘만 남고, 거기에 세제곱의 합 공식을 쓰면 a+b+c 가 두 항에 공통으로 나온다. 묶어내면 끝이다. 우변 괄호의 부호가 헷갈리면 제곱 셋은 더하고 곱 셋은 뺀다고 기억한다.

나눗셈 정리에 x = a 를 넣는 한 걸음이다. 조립제법도 그 계산을 계수만으로 옮긴 것이라 따로 외울 것이 없다.

되살리는 길 P(x) = (x−a)Q(x) + R 을 적고 x 에 a 를 넣는다. 앞 항이 0 이 되어 R = P(a) 만 남는다. 그것이 전부다. 조립제법의 부호가 헷갈리면 나누는 식을 0 으로 만드는 수를 쓴다고 붙잡는다. x − 1 이면 1, x + 1 이면 −1 이다. 끝의 수가 0 이면 나누어떨어진 것이고, 그때 P(a) = 0 이라는 인수정리가 된다.

근의 공식의 근호 안을 따로 떼어 본 것이다. 완전제곱 꼴에서 부호가 왜 개수를 정하는지 그 자리에서 보인다.

되살리는 길 근의 공식을 떠올리고 근호 안만 본다. 그 안이 양수면 ± 가 서로 다른 두 값을 만들고, 0 이면 둘이 겹쳐 하나가 되고, 음수면 실수에는 답이 없다. 헷갈리면 x² − 5x + 6 = 0 으로 확인한다. 25 − 24 = 1 이 양수라 근이 둘이고 실제로 2 와 3 이다. 그래프로는 포물선이 x축을 두 번 지나는 것과 같은 말이다.

a(x - α)(x - β) 를 전개해 계수를 견주면 나온다.

되살리는 길 전개해서 계수를 견주는 30초짜리 길이다. 부호는 합에만 붙는다. 합은 -b/a, 곱은 c/a. 검산도 쉽다. x² - 3x + 2 의 두 근은 1 과 2 이므로 합 3 은 -(-3)/1, 곱 2 는 2/1 과 맞아떨어진다.

좌표 차이 두 개로 만든 직각삼각형의 빗변이다.

되살리는 길 두 점의 x 차이와 y 차이로 직각삼각형을 그리면 거리가 빗변이다. 그래서 피타고라스 그대로다. 빼는 순서는 걱정하지 않아도 된다. 제곱하므로 부호가 사라진다. 공간이면 z 차이 하나가 더 붙을 뿐 논리가 같다.

수선을 내려 평행선의 비로 옮기면 비례식 하나에서 나온다. 중점은 m = n 을 넣은 특별한 경우다.

되살리는 길 선분을 그리고 세 점에서 x 축에 수선을 내린다. 축 위에서 x − x₁ 과 x₂ − x 가 m : n 이라 적고 내항과 외항을 곱해 x 를 모은다. 계수가 어느 쪽에 붙는지 헷갈리면 m 을 아주 크게 잡아 본다. P 가 B 에 붙으므로 m 은 B 의 좌표에 붙는다.

내분점 식에서 n 을 −n 으로 바꾼 것이다. 수선을 내려 평행선의 비로 옮기면 같은 비례식 하나에서 나온다.

되살리는 길 선분을 그리고 연장선 위에 Q 를 찍는다. 세 점에서 x 축에 수선을 내리고 축 위에서 x − x₁ 과 x − x₂ 가 m : n 이라 적은 뒤 내항과 외항을 곱해 x 를 모은다. 분모가 m − n 이라는 것만 기억하면 나머지는 내분점과 같다. m 과 n 이 같으면 분모가 0 이라 점이 없다.

"중심에서 거리가 늘 r" 이라는 문장을 그대로 좌표로 옮긴 식이다.

되살리는 길 중심에서 거리가 늘 r 이라는 문장을 좌표로 옮기고 양변을 제곱한 식이다. 부호가 헷갈리면 중심 (2, 3) 을 넣어 본다. (x - 2)² + (y - 3)² 이 되어 중심 좌표는 괄호 안에서 부호가 뒤집혀 보인다. 일반형을 만나면 완전제곱으로 묶어 중심과 반지름을 되찾는다.

반지름과 수직이라는 한 문장에서 기울기를 얻고 점과 기울기 꼴에 넣으면 두 줄에 나온다.

되살리는 길 원과 접점을 그리고 반지름을 긋는다. 반지름의 기울기가 y₁ / x₁ 이므로 접선은 −x₁ / y₁ 이고, 점과 기울기 꼴에 넣어 분모를 없애면 오른쪽이 x₁² + y₁², 곧 r² 이 된다. 다 쓴 뒤에는 모양으로 검산한다. 원의 식에서 제곱 하나씩만 접점 좌표로 바뀐 꼴이어야 한다.

순열을 먼저 쓰고 r! 로 나누면 조합이다.

되살리는 길 순열을 먼저 쓰고 r! 로 나누면 조합이다. 나누는 이유는 뽑은 r 개를 줄 세우는 순서를 세지 않기 때문이다. 그래서 정작 외울 것은 식이 아니라 판별이다. 순서가 뜻을 가지면(반장과 부반장) 순열, 아니면(대표 2명) 조합이다.

가로줄과 세로줄을 맞물려 곱해 더한다.

되살리는 길 왼쪽의 가로줄과 오른쪽의 세로줄을 맞물려 곱해 더한다. 같은 자리끼리 곱하는 것이 아니다. 단위행렬로 검산한다. 대각선만 1 인 행렬을 곱하면 점이 그대로 나와야 한다. 앞의 열 수와 뒤의 행 수가 같아야 곱할 수 있다는 조건도 이 맞물림에서 나온다.

두 번 센 겹침을 한 번 빼는 것이 전부다.

되살리는 길 그냥 더하면 겹치는 원소를 두 번 센다. 두 번 센 것이 정확히 교집합만큼이라 한 번 빼면 된다. 벤 다이어그램에서 겹친 칸이 한 번 더 들어갔다고 읽으면 그림 하나로 끝난다. 서로소면 뺄 것이 없어 그냥 더한 값이 답이다.

기울기를 두 점으로 재는 식 하나에서 분모를 넘긴 것이 전부다. 외울 것이 없다.

되살리는 길 지나는 점과 임의의 점을 놓고 기울기를 분수로 적는다. 세로 차이를 가로 차이로 나눈 것이 m 이고, 분모를 오른쪽으로 넘기면 바로 이 꼴이다. 괄호에 붙는 것이 x 쪽이라는 것만 확인하면 자리를 헷갈리지 않는다.

평행은 정의 그대로이고, 수직은 x = 1 에서 점 둘을 잡아 피타고라스 한 번이면 나온다.

되살리는 길 원점을 지나는 두 직선에 x = 1 을 넣어 (1, m₁) 과 (1, m₂) 를 찍는다. 직각을 가정하고 세 변의 제곱을 쓰면 제곱 항이 모두 지워지고 2 = −2m₁m₂ 가 남는다. 부호가 헷갈리면 기울기 2 와 −1/2 로 검산한다. 곱이 −1 이다.

원소마다 넣을지 말지 고른다는 한 문장에서 2ⁿ 이 바로 나온다.

되살리는 길 원소가 두 개인 집합 {1, 2} 로 확인한다. 부분집합은 공집합, {1}, {2}, {1, 2} 로 네 개이고 2² 과 맞는다. 조건이 붙으면 고를 것이 몇 개 남는지만 센다. 1 을 반드시 넣으라고 하면 2 만 고르면 되므로 2¹ 이다. 진부분집합에서 빠지는 것은 자기 자신 하나뿐이라는 점만 주의한다.

a(x−α)(x−β)(x−γ) 를 전개해 계수를 견주면 나온다. 이차에서 하던 일과 같다.

되살리는 길 몇 개씩 뽑는지로 기억한다. 하나씩 뽑아 더하면 −b/a, 두 개씩 뽑아 곱해 더하면 c/a, 셋을 다 곱하면 −d/a 다. 부호는 뽑은 개수가 홀수일 때만 음수다. 이차에서 합이 −b/a, 곱이 c/a 였던 것과 같은 규칙이다. 검산은 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 으로 한다. 근이 1, 2, 3 이므로 합 6 은 −(−6)/1, 두 개씩의 곱의 합 11 은 11/1, 세 근의 곱 6 은 −(−6)/1 과 맞아떨어진다.

식에 넣는 것은 옮긴 뒤의 점이 아니라 옮겨 오기 전의 점이다. 그 한 문장에서 부호가 정해진다.

되살리는 길 부호를 외우지 말고 한 점으로 확인한다. y = x² 을 오른쪽으로 3 만큼 옮기면 꼭짓점이 (0, 0) 에서 (3, 0) 으로 간다. y = (x−3)² 에 x = 3 을 넣으면 y = 0 이니 맞고, y = (x+3)² 에 넣으면 36 이니 틀리다. 이 확인이 5 초면 끝나므로 규칙을 외울 필요가 없다. 대칭이동은 더 간단하다. x 축 대칭이면 y 에 −y 를, y 축 대칭이면 x 에 −x 를 넣고, 직선 y = x 대칭이면 x 와 y 를 맞바꾼다. 원은 중심만 옮기면 된다. 반지름은 이동으로 안 변한다.

제곱이 0 이상이라는 한 줄에서 세 줄이면 나온다. 등호 조건까지 그 한 줄이 알려 준다.

되살리는 길 √a − √b 를 제곱해 0 이상이라 적는다. 전개하면 a + b − 2√(ab) 이고 넘겨서 2 로 나누면 끝이다. 어느 쪽이 큰지 헷갈리면 a = 1, b = 4 로 검산한다. 산술평균 2.5, 기하평균 2 로 산술평균이 크다.

괄호를 전개하고 i² 를 −1 로 바꾸면 그 자리에서 나온다. 외울 것은 i² = −1 하나다.

되살리는 길 곱셈은 평소처럼 괄호를 전개한 뒤 마지막에 i² 만 −1 로 바꾼다. 그러면 bd 가 부호를 달고 실수부분으로 넘어와 ac − bd 가 된다. 나눗셈은 분모의 켤레를 떠올린다. a + bi 에 a − bi 를 곱하면 가운데 두 항이 지워져 a² + b² 라는 실수가 남는다. 검산은 다시 곱해 보는 것이 가장 빠르다. (2+i)/(1−i) 가 (1+3i)/2 로 나왔다면 (1−i)(1+3i) 를 계산해 4 + 2i 가 되는지, 2 로 나눠 2 + i 로 돌아오는지 본다.

i² = −1 에서 i 를 한 번씩 더 곱해 가면 네 번째에 1 로 돌아온다.

되살리는 길 외울 것은 i² = −1 하나이고 나머지는 손으로 세 번 더 곱하면 나온다. i, −1, −i, 1 의 차례를 원 위에 네 칸으로 그려 두면 더 빠르다. 쓸 때는 지수를 4 로 나눈 나머지만 본다. 나머지가 1 이면 i, 2 이면 −1, 3 이면 −i, 0 이면 1 이다. 같은 그림에서 i + i² + i³ + i⁴ 이 0 이라는 것도 바로 읽힌다. 네 값이 짝을 지어 지워지기 때문이다.

근호 안이 음수인 것이 둘이면 i 가 둘 나오고, 그 i² 가 −1 이라 부호가 한 번 뒤집힌다.

되살리는 길 외우지 말고 i 를 세어 본다. 근호 안이 음수인 것이 하나면 i 가 하나라 부호가 그대로이고, 둘이면 i 가 둘이라 부호가 뒤집힌다. 그래서 규칙이 달라지는 경우는 둘 다 음수일 때 하나뿐이다. 검산은 작은 수로 한다. √(−2) √(−8) 은 √2 i 곱하기 2√2 i 이므로 4i², 곧 −4 다. 그냥 묶어 √16 = 4 로 쓰면 부호가 반대가 된다.

「또는」을 부정하면 「그리고」가 되기 때문이다.

되살리는 길 원소 하나를 잡고 말로 읽는다. 합집합 밖에 있다는 것은 A 에도 없고 B 에도 없다는 뜻이다. 그 문장을 기호로 옮기면 교집합이 나온다. 기호만 보고 외우려 들면 반드시 한쪽을 안 바꾼다.

중선을 2 대 1 로 나눈다는 성질이 내분점 공식에서 약분되어 평균만 남기 때문이다.

되살리는 길 중점을 먼저 찍고 그 중선을 2 대 1 로 내분한다고 적어 본다. 중점 안의 2 와 내분에서 곱한 2 가 서로 지워지면서 세 좌표의 합을 3 으로 나눈 꼴이 남는다. 그래서 평균이다.

식에 넣는 것이 옮긴 뒤의 점이 아니라 옮겨 오기 전의 점이기 때문이다.

되살리는 길 점 하나를 (a, b) 로 두고 뒤집은 자리를 (X, Y) 라 적는다. 그다음 a 와 b 를 X, Y 로 되돌려 원래 식에 넣는다. 부호가 왜 그쪽에 붙는지가 이 되돌리는 한 걸음에서 나온다.

뽑는 일은 남기는 일과 짝이고, 특정한 하나를 뽑았는지로 가르면 경우가 둘로 갈리기 때문이다.

되살리는 길 첫 성질은 말로 확인하는 것이 빠르다. 다섯에서 셋을 뽑으면 둘이 남으니 같은 일이다. 파스칼 쪽은 원소 하나를 정해 두고 그것을 뽑은 경우와 안 뽑은 경우로 가른다. 둘이 겹치지 않고 전부를 덮으므로 더하면 된다.

중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다는 한 줄에서 절편이 결정되기 때문이다.

되살리는 길 직선을 y = mx + n 으로 두고 원점에서의 거리를 반지름과 같다고 적는다. 분모의 근호가 그대로 답에 올라온다. 근호 안이 m 제곱 더하기 1 인 것은 거리 공식의 분모에서 온 것이라 외울 필요가 없다.

표준형으로 고치는 나눗셈을 문자로 한 번 해 두면 계수에서 바로 읽힌다.

되살리는 길 분자를 분모로 나눠 몫과 나머지로 가른다. 몫은 x 가 없는 상수이고 그것이 수평 점근선의 높이다. 나머지는 분모에만 x 를 남기므로 분모가 0 이 되는 자리가 수직 점근선이다. 계수로 적으면 앞의 것이 c 분의 a, 뒤의 것이 c 분의 −d 다.

지수법칙을 로그로 옮겨 적은 것뿐이다. 밑변환 한 줄에서 밑과 진수를 바꾸는 식까지 따라 나온다.

되살리는 길 x = aᵐ, y = aⁿ 으로 적고 곱하거나 나눠 보면 된다. 밑이 같으니 지수가 더해지거나 빠지고, 그것을 다시 로그로 읽으면 곱은 합, 나눗셈은 차가 된다. 로그 성질 세 줄은 지수법칙 세 줄의 다른 얼굴이다. 밑이 다른 로그가 섞여 있으면 밑변환으로 한 밑에 모은다. 밑변환에서 새 밑을 진수로 잡으면 분자가 1 이 되어 logₐb = 1 / log_b a 가 나온다. 밑과 진수가 뒤집히면 값도 뒤집힌다고 기억하면 된다.

단위원 위의 점 좌표를 원의 식에 대입하면 끝난다.

되살리는 길 단위원 하나만 그리면 된다. 원 위의 점은 x² + y² = 1 을 만족하고, 각 θ 자리의 점 좌표가 (cos θ, sin θ) 다. 대입하면 그대로 기본 관계식이다. tan 이 섞인 관계식은 이 식의 양변을 cos²θ 로 나눠서 만든다. 따로 외울 것이 아니다.

단위원에 점 하나를 찍고 대칭을 시켜 보면 열두 줄이 그 자리에서 나온다. 표로 외우면 부호를 반대로 적기 쉽다.

되살리는 길 두 가지만 묻는다. π 를 낀 각이면 이름은 그대로이고 부호만 본다. π/2 를 낀 각이면 이름이 sin ↔ cos 으로 바뀐다. 부호는 옮긴 각이 놓인 사분면에서 읽는다.

b 가 각을 빨리 돌린다는 한 문장에서 주기의 나눗셈이 나온다. 표로 외우면 2π/|b| 와 2π|b| 를 뒤집어 적는다.

되살리는 길 b = 2 를 넣어 본다. 각이 두 배로 빨리 도니 한 바퀴가 절반 만에 끝나 주기가 π 여야 한다. 곱셈으로 적었다면 4π 가 나와 말이 안 된다. d 의 효과는 a = 2, d = 1 을 넣어 확인한다. 가운데 선이 1 이고 위아래로 2 씩 오르내리니 최댓값 3, 최솟값 −1 이 나와야 한다. tan 은 따로 본다. 주기가 π/|b| 이고 진폭이라 부를 것이 없다.

가우스 짝짓기 그림 하나면 복원된다.

되살리는 길 합을 한 번 더 거꾸로 써서 세로로 더한다. 모든 짝의 합이 (첫항 + 끝항) 으로 같고 그런 짝이 n 개다. 그래서 n(첫항 + 끝항) 이 되고, 마지막에 2 로 나누는 이유는 같은 합을 두 번 썼기 때문이다. 이 한 문장이 공식보다 짧다.

S 에서 rS 를 빼면 가운데 항이 전부 지워진다.

되살리는 길 S 와 rS 를 위아래로 놓고 뺀다. 항이 한 칸씩 밀려 있어 가운데가 모두 지워지고 양 끝만 남는다. 분모에 r - 1 이 오는 이유가 이 뺄셈이고, r = 1 을 따로 떼어 두는 이유도 여기서 보인다. 0 으로 나눌 수 없기 때문이다.

첫 항에서 n − 1 걸음이라는 것만 기억하면 된다.

되살리는 길 첫 항에서 n 번째 항까지는 n − 1 걸음이고 걸음마다 d 를 더한다. n − 1 이 불안하면 n = 1 을 넣어 본다. 걸음이 0 번이라 첫 항이 그대로 나와야 한다.

걸음 수 n − 1 은 등차와 같다. 더하기를 곱하기로 갈아 끼우면 된다.

되살리는 길 첫 항에서 n 번째 항까지는 n − 1 걸음이고 걸음마다 r 을 곱한다. 지수가 불안하면 n = 1 을 넣어 본다. r 의 0 제곱이 1 이라 첫 항이 그대로 나와야 한다. 등차의 일반항과 나란히 놓으면 더한 횟수와 곱한 횟수가 같은 자리에 있는 것이 보인다.

공차가 같다는 정의 한 줄에서 곧장 나온다.

되살리는 길 이웃한 차가 같으니 b - a = c - b 다. 이 한 줄에서 b 를 왼쪽으로 모으면 2b = a + c 가 된다. 공차 d 는 양쪽에서 같은 값이라 저절로 사라지고, 그래서 d 를 몰라도 가운데 항을 쓸 수 있다.

등차중항의 차를 비로, 덧셈을 곱셈으로 바꾸면 그대로 나온다.

되살리는 길 이웃한 비가 같으니 b/a = c/b 다. 비례식이므로 안쪽끼리 바깥쪽끼리 곱하면 b² = ac 가 된다. 공비 r 은 양쪽에서 같은 값이라 저절로 사라진다. 등차는 더해서 2 로 나누고 등비는 곱해서 제곱근을 씌운다고 짝지어 두면 헷갈리지 않는다.

합에서 한 칸 앞의 합을 빼면 항 하나만 남는다. 그림도 필요 없는 한 줄이다.

되살리는 길 Sₙ 과 Sₙ₋₁ 을 위아래로 나란히 적고 빼 본다. 앞쪽이 통째로 지워지고 aₙ 만 남는다. 다 구한 뒤에는 반드시 n = 1 을 넣어 S₁ 과 맞는지 확인한다. 다르면 a₁ 을 따로 적어야 답이 된다.

쪼개서 나열해 보면 남는 것이 양 끝 둘뿐이라는 것이 눈으로 보인다.

되살리는 길 일반항을 1/k 에서 1/(k+1) 을 뺀 꼴로 쪼개고 k = 1, 2, 3 만 적어 본다. 1/2 끼리, 1/3 끼리 부호가 반대로 겹쳐 사라지는 것이 세 줄이면 보인다. 그러면 남는 것은 맨 앞의 1 과 맨 뒤의 1/(n+1) 뿐이고, 통분하면 n/(n+1) 이다.

높이 하나를 두 방향으로 읽는 것이 전부다. 유도가 한 줄이라 외울 것이 없다.

되살리는 길 삼각형에 높이 하나를 내리고 그 길이를 왼쪽 삼각형과 오른쪽 삼각형에서 각각 적는다. b sin A 와 a sin B 가 같다는 데서 a/sin A = b/sin B 가 나온다. 자리가 헷갈리면 변과 그 대각이 늘 짝이라는 것만 지킨다. a 의 짝은 언제나 A 다. 공통값이 2R 인 것은 외접원의 지름을 그어 직각삼각형을 만드는 한 걸음에서 나온다.

정의가 곧 첫 공식이고, 넓이는 원 전체에서 각이 차지하는 비율 하나로 나온다.

되살리는 길 θ = 호의 길이 ÷ 반지름이라는 정의를 먼저 적는다. 양변에 r 을 곱하면 호의 길이가 rθ 다. 넓이는 원 전체 πr² 에 각의 비율 θ/2π 를 곱해 ½r²θ 다. 계수 ½ 이 헷갈리면 한 바퀴를 넣어 본다. θ = 2π 면 ½ × r² × 2π = πr² 으로 원 전체 넓이가 나오고, 호의 길이도 r × 2π = 2πr 로 둘레가 나온다. 각이 도로 주어졌으면 π/180 을 곱해 라디안으로 바꾼 다음에 넣는다.

지수법칙이 깨지지 않게 하려면 이 값밖에 될 수 없다. 값을 정하는 과정이 곧 유도다.

되살리는 길 a^(1/n) 을 n 번 곱하면 지수가 1 이 되어 a 로 돌아온다는 데서 시작한다. n 제곱해서 a 가 되는 수는 n 제곱근이므로 a^(1/n) 은 ⁿ√a 다. 분자 m 은 그 위에 m 제곱을 얹는 것뿐이다. 분모가 근호의 차수이고 분자가 거듭제곱의 지수라고 붙잡는다. 헷갈리면 8^(2/3) 으로 확인한다. 세제곱근 8 은 2 이고 그것을 제곱하면 4 인데, 뒤바꿔 읽어 √(8³) 으로 계산하면 √512 라 전혀 다른 값이 나온다. 밑이 음수이면 지수법칙 자체가 어긋나는 경우가 생기므로 a > 0 에서만 쓴다.

근호를 유리수 지수로 바꾸면 전부 아는 지수법칙이다.

되살리는 길 n 제곱근을 n 분의 1 승으로 갈아입힌다. 그러면 곱은 밑끼리 곱하는 법칙으로, 거듭제곱은 지수끼리 곱하는 법칙으로 바로 끝난다. 계산이 끝나면 다시 근호로 되돌린다. 근호가 겹쳐 있으면 지표를 곱하면 된다.

점-기울기 꼴에 기울기 f′(a) 를 넣은 것이다.

되살리는 길 직선 하나를 정하는 데는 기울기와 지나는 점이면 충분하다. 접선은 기울기가 f′(a), 지나는 점이 (a, f(a)) 이므로 점-기울기 꼴에 그대로 넣는다. 새 공식이 아니라 중2 에서 기울기와 한 점으로 직선을 구하던 그 방식이다. 법선은 같은 점에서 기울기만 음의 역수로 바꾼다.

넓이 함수를 미분하면 f 가 된다는 한 걸음이 전부다. 나머지는 상수를 정하는 일이다.

되살리는 길 오른쪽 끝만 움직이는 넓이 함수 S(x) 를 떠올린다. 끝을 조금 밀면 얇은 띠가 붙고 그 넓이가 f(x)h 이므로, 기울기가 f(x) 다. 그러면 S 는 f 의 부정적분이고 F 와 상수만 다르다. 출발점 넓이가 0 이라 상수가 정해진다. 부호가 헷갈리면 F(b) 에서 F(a) 를 뺀다고 붙잡는다. 나중 값에서 처음 값을 빼는 것이라 이동 거리와 같은 꼴이다.

도함수의 정의를 위치에 한 번, 속도에 한 번 적용한 것뿐이다.

되살리는 길 단위로 되살린다. 위치는 m, 속도는 m/s, 가속도는 m/s² 다. 한 단계 내려갈 때마다 초로 한 번씩 더 나눈다. 시간으로 나누는 일이 곧 시간으로 미분하는 일이므로 순서를 잊을 수 없다. 방향을 물으면 속도의 부호를 보고, 빠르기를 물으면 절댓값을 본다. 되돌아오는 순간을 찾으라는 문제는 v(t) = 0 을 풀라는 말이다.

거듭제곱의 미분을 거꾸로 읽으면 나온다. 외울 것은 +C 를 빠뜨리지 않는 습관뿐이다.

되살리는 길 미분은 지수를 내려 앞에 곱하고 지수를 하나 줄인다. 적분은 그 반대로 지수를 하나 올리고 그 수로 나눈다. 검산은 미분으로 한다. 구한 답을 미분해서 처음 식이 나오면 맞다. 이 검산이 되므로 적분은 틀려도 스스로 잡을 수 있다. n = −1 이면 지수를 올렸을 때 0 이 되어 0 으로 나누게 되므로 이 공식이 무너진다. 그 자리는 로그가 맡는다.

세로로 얇은 직사각형의 높이가 위 곡선 빼기 아래 곡선이라는 한 줄에서 나온다.

되살리는 길 식보다 순서가 중요하다. 첫째로 교점을 구해 적분 구간을 정한다. 둘째로 그 구간에서 어느 쪽이 위인지를 정한다. 값을 하나 넣어 보면 바로 갈린다. 셋째로 위에서 아래를 빼서 적분한다. 넓이가 음수로 나왔다면 위아래를 거꾸로 잡은 것이다. 구간 안에서 위아래가 바뀌면 교점에서 구간을 나눠 따로 적분한 뒤 더한다. 절댓값을 그냥 씌워 한 번에 적분하려 들면 계산이 안 된다.

쌓인 넓이가 늘어나는 속도가 바로 그 자리의 높이이기 때문이다.

되살리는 길 위끝을 조금 밀어 본다. 늘어난 넓이는 폭이 아주 작은 띠 하나이고 그 넓이는 높이 곱하기 폭이다. 폭으로 나누면 높이만 남는다. 아래끝이 상수라야 이 이야기가 성립한다. 아래끝도 움직이면 그쪽에서 깎이는 몫이 따로 생긴다.

왼쪽 절반을 치환으로 오른쪽으로 옮기면 우함수는 겹치고 기함수는 상쇄되기 때문이다.

되살리는 길 그래프를 떠올린다. y축에 대해 접어서 포개지면 두 배, 원점에 대해 돌려서 포개지면 0 이다. 식으로 가리려면 x 자리에 마이너스 x 를 넣어 보고 그대로면 우함수, 전체 부호가 뒤집히면 기함수다.

속도가 위치의 도함수라서 적분하면 위치의 변화가 돌아오고, 음수 구간이 상쇄를 일으키기 때문이다.

되살리는 길 속도 그래프를 그리고 x축 위아래의 넓이를 본다. 부호를 그대로 더하면 위치 변화이고 전부 양수로 더하면 움직인 거리다. 문제가 어느 쪽을 묻는지부터 읽는다.

할선을 빼서 그림을 수평으로 눕히면 롤의 정리가 그대로 쓰이기 때문이다.

되살리는 길 두 끝을 잇는 할선을 긋고 곡선을 그 할선만큼 내린다. 그러면 양 끝의 높이가 같아져 가운데 어딘가에 수평인 접선이 생긴다. 다시 올리면 그 접선이 원래 할선과 나란하다.

세는 무대가 A 로 줄어든 것뿐이다.

되살리는 길 A 가 일어났다는 말은 세는 무대가 A 로 줄었다는 뜻이다. 그 안에서 B 인 몫을 세면 되므로 분모가 P(A) 가 된다. 주사위로 확인한다. 짝수가 나왔을 때 그것이 2 일 확률은 짝수 셋 중 하나라 1/3 이고, 식으로도 (1/6) ÷ (1/2) = 1/3 이다.

평균을 빼서 중심을 0 으로, 표준편차로 나눠 폭을 1 로 맞춘다.

되살리는 길 평균을 빼서 중심을 0 으로 옮기고, 표준편차로 나눠 폭을 1 로 맞춘다. 두 동작뿐이다. z 는 결국 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어졌는가를 세는 값이다. 평균 40, 표준편차 20 인 시험의 80 점은 z = 2, 곧 두 칸 위다.

계수는 b 를 몇 개 고르는가의 수다. 이 한 문장이 공식 전체를 만든다.

되살리는 길 괄호 n 개에서 b 를 r 개 고른다고 생각한다. 그러면 항은 a^(n−r)b^r 이고 계수는 nCr 다. 지수의 합이 늘 n 이라는 것으로 검산한다. 세제곱 곱셈공식이 기억나면 그것과 맞춰 봐도 된다. n = 3 이면 계수가 1, 3, 3, 1 인데 3C0 부터 3C3 까지가 정확히 그 값이다.

항등식에 1 을 넣는 한 수로 끝난다.

되살리는 길 이항정리에 a 와 b 를 둘 다 1 로 놓는다. 좌변은 2 의 n 제곱이 되고 우변은 문자가 전부 1 이라 계수만 남는다. 대입 한 번으로 끝나는 것이 요점이다. 같은 수법으로 b 자리에 -1 을 넣으면 부호가 번갈아 붙어 교대합이 0 이라는 것도 바로 나온다.

한 번의 시행을 풀어 두고 n 배 한다. 평균이 np 인 것은 세어 보면 당연하고, 분산의 p(1−p) 만 한 번 확인하면 된다. 표준편차는 분산에 근호를 씌운 것이라 따로 외울 것이 없다.

되살리는 길 동전 n 번 던지기로 확인한다. p = 1/2 이면 앞면이 나오는 횟수의 평균은 n/2 인데 공식도 np = n/2 로 맞는다. 분산은 한 번의 시행에서 p − p² 이고, p = 1/2 이면 1/4 로 가장 크다. 성공확률이 0 이나 1 에 가까울수록 결과가 뻔해져 분산이 0 으로 간다는 것과 맞아떨어진다. 표준편차를 물으면 √(np(1−p)) 로 근호를 씌우는 것을 잊지 않는다.

편차의 제곱의 평균을 전개하면 그대로 나온다. 확률의 합이 1 이라는 것만 쓰면 된다.

되살리는 길 정의는 편차의 제곱의 평균이고, 계산은 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 것이다. 둘의 순서가 헷갈리면 분산이 0 이상이어야 한다는 것으로 잡는다. E(X²) 이 {E(X)}² 보다 크거나 같으므로 큰 것에서 작은 것을 뺀다.

평균을 빼면 b 가 지워진다는 한 줄이 셋을 모두 설명한다.

되살리는 길 수직선 위의 점 몇 개를 떠올린다. 통째로 밀면 서로의 간격은 그대로이고, a 배로 늘리면 간격도 a 배가 된다. 그래서 분산에는 a² 이 붙고 b 는 흔적도 없다. 표준화 Z = (X − m)/σ 가 이 성질을 두 번 쓴 것이다.

한 순서의 확률을 곱해 쌓고 순서의 가짓수를 곱하는 두 걸음뿐이다.

되살리는 길 먼저 성공이 앞쪽에 몰려 나오는 한 줄을 적어 본다. p 를 r 번, (1−p) 를 n−r 번 곱한 것이다. 그다음 성공이 어느 자리에 오는지 고르는 방법이 nCr 가지라는 것을 붙인다. nCr 을 빠뜨리는 실수가 가장 흔한데, 그러면 순서가 하나로 고정된 경우만 센 것이다. 지수의 합이 n 인지 보면 검산이 된다. r 과 n−r 을 더하면 n 이어야 한다.

동그라미와 칸막이로 한 줄을 만들면 조합이 되고, 그 줄의 길이에서 식이 그대로 나온다.

되살리는 길 아래 첨자를 n 과 r 중 어디에 더하는지가 매번 헷갈리는 자리다. 식을 외우려 하지 말고 줄을 그린다. 동그라미가 r 개, 칸막이가 n-1 개이므로 줄의 길이는 n+r-1 이고 그중 동그라미 자리 r 개를 고른다. 그래서 위가 n+r-1, 아래가 r 이다. 칸막이가 n 개가 아니라 n-1 개인 것만 조심하면 된다. 칸이 n 개 생기려면 막대는 하나 적다. 어느 셈법인지 고르는 것도 같은 물음 둘로 정해진다. 순서를 따지는가, 중복을 허락하는가. 둘 다 아니오면 조합, 중복만 예면 중복조합이다.

줄 세우기에서 회전 수로 나눈 것이다. 한 사람을 고정한다고 생각해도 같다.

되살리는 길 한 사람을 붙박이로 앉히고 나머지를 줄 세운다고 생각한다. 4 명이면 3! = 6 가지다. 직접 그려 세어 보면 여섯 가지가 맞는지 바로 확인된다. 뒤집어도 같은 목걸이 문제라면 2 로 한 번 더 나눈다.

전부 다르다고 세고 겹쳐 센 만큼 나눈다. 원순열과 같은 발상이다.

되살리는 길 같은 글자에 번호를 붙였다가 떼는 그림을 떠올린다. L 두 개에 번호를 붙이면 2 가지가 따로 세어지므로 2! 로 나눈다. 검산은 작은 낱말로 한다. AAB 는 3!/2! = 3 이고 실제로 AAB, ABA, BAA 세 가지다.

겹친 칸을 두 번 세지 않으려고 한 번 빼는 것뿐이다. 벤 다이어그램 한 장이면 다시 나온다.

되살리는 길 두 원을 그리고 칸을 세어 본다. A 를 칠하고 B 를 칠하면 가운데 칸만 두 번 칠해진다. 그 칸을 한 번 지우면 끝이다. 쓸 때는 배반인지 아닌지를 먼저 본다. 배반이면 가운데 칸이 없으므로 뺄 것도 없다. 반대로 「또는」 이 보이는데 두 사건이 함께 일어날 수 있으면 교집합을 반드시 구해야 하고, 그것을 못 구하겠으면 덧셈정리로는 풀 수 없다는 신호다. 그때는 여사건으로 방향을 뒤집는다.

덧셈정리에서 교집합을 0 으로 놓은 것뿐이다.

되살리는 길 벤 다이어그램에서 원을 떼어 놓으면 배반이다. 겹치는 칸이 없으니 뺄 것도 없다.

조건이 아무 효과가 없으면 곱셈정리의 조건부확률이 단순 확률로 돌아온다.

되살리는 길 곱셈정리에서 출발한다. P(A∩B) = P(A)P(B|A) 에서, 독립이면 P(B|A) = P(B) 이므로 곱이 된다. 동전 두 번 던지기로 확인한다. 첫째가 앞이든 뒤든 둘째가 앞일 확률은 1/2 그대로이고, 둘 다 앞일 확률은 1/2 × 1/2 = 1/4 이다.

표준화한 Z 의 부등식을 m 에 대해 푸는 것이 전부다. 외울 것은 k 값 둘뿐이다.

되살리는 길 구조로 기억한다. 중심은 표본평균, 폭은 k 곱하기 표본평균의 표준편차다. 표본평균의 표준편차가 σ/√n 이라는 것만 붙잡으면 나머지는 따라온다. √n 을 n 으로 쓰는 실수가 가장 흔한데, 분산이 σ²/n 이라는 것에 제곱근을 씌워 보면 바로 잡힌다. k 는 95% 에 1.96, 99% 에 2.58 이고 문제에서 표로 주는 일도 많다. 거꾸로 구간의 양 끝이 주어지면 두 끝의 평균이 x̄, 차의 절반이 kσ/√n 이다. 신뢰도 95% 의 뜻은 이렇다. 같은 크기의 표본을 여러 번 뽑아 구간을 만들면 그중 약 95% 가 m 을 품는다는 말이다.

중복을 허락하면 한 번 쓴 것이 빠지지 않아 자리마다 가짓수가 그대로이기 때문이다.

되살리는 길 자리를 r 칸 그려 놓고 칸마다 몇 가지가 올 수 있는지 적어 본다. 중복이 되니 전부 n 이다. 곱하면 n 의 r 제곱이다. 순열은 같은 그림에서 숫자가 하나씩 줄어든다.

평균과 분산을 그대로 물려주고 모양만 종 모양으로 바꾼다.

되살리는 길 이항분포의 평균 np 와 분산 np(1−p) 를 그대로 가진 정규분포로 갈아 끼운다. 까닭은 X 가 0 또는 1 인 확률변수 n 개의 합이라 중심극한정리가 그대로 걸리는 것이다. 계산은 표준화해서 표를 찾는다. 분모는 분산이 아니라 표준편차다.

평균은 상수배가 그대로 빠져나오고 분산은 제곱이 되어 빠져나온다.

되살리는 길 표본평균을 확률변수 n 개의 합을 n 으로 나눈 것으로 본다. 평균에서는 n 이 약분되어 모평균이 그대로 남고, 분산에서는 상수배가 제곱으로 나와 n 의 제곱분의 1 이 걸린다. 독립이라 합의 분산이 n 곱하기 시그마의 제곱이므로 결과가 n 분의 시그마의 제곱이다. 표준편차는 그 제곱근이다.

변화율을 이어 붙이면 Δu 가 약분된다는 한 줄이다. 분수처럼 보이는 꼴이 그대로 답이다.

되살리는 길 dy/dx = dy/du × du/dx 를 적어 놓고 u = 속함수로 둔다. 겉을 미분하고 속을 미분해 곱한다는 말과 같다. 속미분을 빠뜨렸는지는 검산으로 잡힌다. y = (2x+1)² 를 전개해 미분한 값과 비교하면 2 가 빠졌는지 바로 보인다.

등비수열의 합에서 rⁿ 이 붙은 항을 지우는 한 걸음이다. 조건도 그 자리에서 함께 나온다.

되살리는 길 등비수열의 합 a(1 − rⁿ)/(1 − r) 을 적고 n 을 무한으로 보낸다. |r| < 1 이면 rⁿ 이 0 이 되어 a/(1 − r) 만 남는다. 분모를 1 − r 로 쓸지 r − 1 로 쓸지 헷갈리면 a = 1, r = 1/2 로 확인한다. 1 + 1/2 + 1/4 + … 는 2 인데 1/(1 − 1/2) = 2 로 맞는다. 조건을 빠뜨리면 발산하는 급수에 값을 매기게 된다.

x = e^y 로 고쳐 쓰고 기울기를 뒤집으면 끝난다. 두 걸음이다.

되살리는 길 y = ln x 를 x = e^y 로 옮겨 적는다. 지수함수는 미분해도 그대로라 dx/dy = e^y 이고, 이것을 뒤집으면 dy/dx = 1/e^y 다. e^y 자리에 x 를 되돌려 넣으면 1/x 이다. 검산은 그래프로 한다. x 가 커질수록 ln x 는 점점 느리게 오르므로 기울기가 0 으로 줄어야 하는데 1/x 이 정확히 그렇다. 밑이 10 이면 분모에 ln 10 이 더 붙는다.

곱의 미분법을 적고 항을 옮겨 양변을 적분하면 끝난다. 세 걸음이다.

되살리는 길 (uv)′ = u′v + uv′ 를 먼저 적는다. 구하고 싶은 것이 uv′ 의 적분이므로 그 항만 남기고 옮긴 뒤 양변을 적분한다. (uv)′ 의 적분은 uv 로 돌아오므로 ∫uv′ = uv − ∫u′v 다. 부호가 헷갈리면 간단한 예로 확인한다. ∫x·e^x dx 에서 u = x, v′ = e^x 로 두면 xe^x − e^x + C 가 나오는데 이것을 미분하면 xe^x 로 되돌아온다. u 는 미분해서 단순해지는 쪽, v′ 은 적분해도 감당되는 쪽으로 고른다. 로그와 다항식이 u 자리에, 지수함수와 삼각함수가 v′ 자리에 오는 경우가 많다.

연쇄법칙을 거꾸로 읽은 것이 전부다. 속미분이 곱해져 있으면 묶어 들일 수 있다는 말이다.

되살리는 길 적분할 식에서 덩어리 하나를 u 로 놓고 du 를 구해 본다. 남은 부분이 du 와 정확히 맞아떨어지면 고른 자리가 맞다. 맞지 않으면 다른 덩어리를 u 로 잡는다. 답을 미분해 원래 식이 나오는지 보면 검산이 끝난다.

단면이 반지름 f(x) 인 원이라는 그림 하나에서 바로 나온다.

되살리는 길 자른 단면을 먼저 그린다. 반지름이 f(x) 인 원이므로 넓이는 πf(x)² 이고, 두께 dx 를 곱해 a 부터 b 까지 더하면 부피다. 넓이를 구할 때 ∫f(x)dx 이던 자리에 π·f(x)² 이 들어간 것뿐이다. 검산은 원기둥으로 한다. f(x) = r 인 상수함수를 0 부터 h 까지 돌리면 πr²h 가 나와야 하는데 공식에 넣으면 그대로 나온다. y 축 회전이면 x = g(y) 로 고쳐 π∫g(y)²dy 로 쓴다.

정적분의 정의가 애초에 잘게 쪼개 더한 것의 극한이기 때문이다.

되살리는 길 급수에서 n 분의 1 을 먼저 떼어 낸다. 그것이 폭이다. 남은 곳에서 n 분의 k 를 찾아 x 로 바꾼다. 구간은 k 가 1 일 때와 n 일 때의 값이 정한다. 폭을 못 떼어 내면 적분으로 바뀌지 않는 급수다.

짧은 조각의 빗변을 더한 것이고 근호 안의 제곱의 합이 그 피타고라스이기 때문이다.

되살리는 길 곡선을 꺾은선으로 바꿔 조각 하나를 그린다. 가로와 세로를 두 변으로 하는 직각삼각형이 보이면 끝이다. y = f(x) 꼴의 1 은 x 방향으로 나아간 몫이라, 수평선이면 근호 안이 1 이 되어 길이가 구간의 폭이 되는 것으로 검산할 수 있다.

기울기가 두 변화율의 비이고, 둘 다 t 로 재면 t 가 약분되기 때문이다.

되살리는 길 델타 y 나누기 델타 x 를 적고 위아래를 델타 t 로 나눈다. 값이 안 변하는데 모양이 두 도함수의 비가 된다. 분모가 dx/dt 라는 것만 기억하면 위아래를 뒤집을 일이 없다.

역함수와 원함수를 합성하면 항등함수가 되고, 그것을 미분하면 두 도함수의 곱이 1 이기 때문이다.

되살리는 길 역함수에 넣었다 되돌리면 제자리라는 식을 적고 미분한다. 연쇄법칙이 두 도함수의 곱을 만들고 오른쪽이 1 이니 서로 역수다. 점을 짝지어 읽는 것만 조심한다. 역함수 쪽은 b 에서, 원함수 쪽은 a 에서다.

성분이 서로 섞이지 않아 각각 따로 미분하면 되고, 크기는 피타고라스이기 때문이다.

되살리는 길 x 와 y 를 각각 t 로 미분해 나란히 적는다. 그것이 속도다. 크기를 물으면 두 성분을 제곱해 더하고 근호를 씌운다. 직선 운동에서 절댓값을 씌우던 자리가 평면에서는 근호가 된다.

단위원에서 삼각형과 부채꼴과 삼각형의 넓이가 크기 순으로 끼이기 때문이다.

되살리는 길 반지름 1 인 부채꼴을 그리고 안쪽 삼각형과 바깥 삼각형을 함께 그린다. 세 넓이를 적으면 sin x 와 x 와 tan x 가 나란히 놓인다. 양쪽을 1 로 몰아가면 가운데가 끼여 1 이 된다. 라디안이라야 부채꼴 넓이가 x 의 절반이다.

e 의 정의에 로그를 씌우면 첫 극한이고, 나머지 하나는 그것을 뒤집은 것이다.

되살리는 길 ln(1+x) 를 x 로 나눈 식에서 x 분의 1 을 지수로 올리면 로그 안이 (1+x) 의 x 분의 1 승이 된다. x 가 0 으로 갈 때 그 안이 e 이므로 값은 ln e 이고 1 이다. 둘째 극한은 t = eˣ − 1 로 놓으면 x = ln(1+t) 이라 분수가 첫 극한의 역수 꼴이 되고, 1 의 역수는 1 이다.

미분 공식을 거꾸로 읽으면 되고, 빈 자리 하나만 로그가 메운다.

되살리는 길 지수 쪽은 미분해도 자기 자신이라 그대로다. x 분의 1 은 거듭제곱 공식이 지수 −1 에서 분모가 0 이 되어 못 주는 자리이고, 미분해서 그 함수가 되는 것을 찾으면 로그다. 음수 쪽까지 한 식으로 쓰려고 절댓값을 씌운다. 분자가 분모의 도함수인 꼴을 보면 곧바로 로그로 적는다.

미분 공식에 −1 을 곱해 보면 마이너스가 어디로 가는지 그 자리에서 보인다.

되살리는 길 코사인을 미분하면 마이너스 사인이다. 양변에 −1 을 곱하면 −cos 를 미분한 것이 사인이 되므로 사인의 적분이 −cos 다. 코사인의 적분은 코사인이 사인을 반 직각만큼 민 것이라는 사실로 같은 식에서 나온다. 헷갈리면 답을 미분해서 원래 식으로 돌아오는지 확인한다.

교선에 수직인 방향만 cos θ 배로 눌린다.

되살리는 길 그림자는 한 방향으로만 눌린다. 교선과 나란한 방향은 길이가 그대로이고 수직인 방향만 cos θ 배가 되므로 넓이도 cos θ 배다. 두 끝을 넣어 검산한다. θ = 0 이면 cos 0 = 1 이라 넓이가 그대로이고, θ = 90° 면 0 이 되어 그림자가 선으로 눕는다.

피타고라스 정리를 바닥에서 한 번, 높이 방향으로 한 번 쓰면 나온다.

되살리는 길 직육면체의 대각선을 떠올린다. 밑면의 대각선을 먼저 구하고, 그것과 높이로 다시 직각삼각형을 만들면 된다. 결국 세 모서리의 제곱을 다 더하고 근호를 씌우는 일이라, 차원이 늘어도 항이 하나씩 늘 뿐이다. 빼는 순서는 신경 쓰지 않아도 된다. 제곱하면 부호가 사라진다. 검산은 (1, 2, 3) 과 (4, 6, 15) 로 한다. 차가 3, 4, 12 이고 9 + 16 + 144 = 169 이므로 13 이다.

A 에서 AB 방향으로 전체의 m/(m+n) 만큼 간다는 한 줄을 통분하면 나온다.

되살리는 길 계수가 맞바뀌는 것만 조심하면 된다. 헷갈릴 때는 극단을 넣어 본다. m = 0 이면 P 는 A 자리여야 하는데, 식에 넣으면 분자가 n·a 이고 분모가 n 이라 정확히 a 가 나온다. 반대로 n = 0 이면 b 가 나온다. 이 확인이 두 계수의 자리를 정해 준다. 중점은 m = n 인 경우라 (a + b)/2 이고, 삼각형의 무게중심은 세 위치벡터의 평균 (a + b + c)/3 이다. 외분점은 n 을 −n 으로 바꾸면 그대로 따라온다.

초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다는 정의를 제곱해 푼 결과이기 때문이다.

되살리는 길 초점을 (p, 0), 준선을 x = 마이너스 p 로 두고 두 거리를 같다고 적는다. 제곱해서 펼치면 x 의 제곱과 p 의 제곱이 양쪽에서 지워지고 y 의 제곱 = 4px 만 남는다. 4 는 외우는 수가 아니라 2px 가 양쪽에서 부호를 달리해 합쳐진 결과다.

거리의 차를 좌표로 적고 근호를 두 번 없앤 결과이고, 점근선은 그 식에서 1 을 무시한 꼴이기 때문이다.

되살리는 길 타원과 같은 길을 걷되 합이 아니라 차로 시작한다. 그래서 부호 하나만 바뀐다. 관계식은 타원이 a 제곱 = b 제곱 + c 제곱, 쌍곡선이 c 제곱 = a 제곱 + b 제곱이다. 늘 가장 큰 것이 혼자 왼쪽에 선다고 기억하면 헷갈리지 않는다. 점근선은 표준형에서 1 을 0 으로 바꿔 인수분해하면 바로 나온다.

곡선의 식에서 제곱된 자리를 접점 좌표로 한 짝씩만 바꿔 쓴 꼴이기 때문이다.

되살리는 길 원에서 x 제곱이 x1x 가 되던 것을 떠올린다. 타원이면 분모를 그대로 두고 같은 일을 하고, 쌍곡선이면 부호가 따라온다. 제곱이 없는 문자는 평균으로 바뀐다고 기억하면 포물선까지 한 규칙으로 덮인다.

중심에서 거리가 r 이라는 문장을 거리 식에 넣고 제곱하면 끝이다.

되살리는 길 평면의 원과 똑같이 생각한다. 중심에서 점까지의 거리를 좌표로 쓰면 세 차이의 제곱의 합에 근호를 씌운 것이고, 그것이 r 이라는 식의 양변을 제곱한다. 일반형이 주어지면 문자마다 완전제곱을 만들어 표준형으로 고친 뒤 읽는다.

한 점에서 한 방향으로 뻗는다는 문장을 그대로 옮긴 식이다.

되살리는 길 지나는 점의 위치벡터에 방향벡터의 실수배를 더한다. t 가 0 이면 그 점, 1 이면 방향벡터만큼 간 자리, 음수면 반대쪽이다. 성분으로 풀면 매개변수 방정식이 되고 t 를 소거하면 익숙한 꼴이 된다.