🎞 수업 슬라이드

i 를 곱하면 90° 돈다

반 바퀴의 반이 i, 복소수는 평면 위의 점

−1 을 곱하면 수직선이 반 바퀴 돕니다. 두 번 해서 반 바퀴가 되려면 반의반 바퀴, 그 자리는 수직선 밖이라 평면이 열리고 그 수가 i 입니다. a + bi 를 점으로 놓고 더하기는 화살 잇기, i 를 곱하면 90° 회전(네 번이면 제자리), 켤레끼리 곱하면 실수가 되는 여섯 장입니다.

🔬 복소평면 판

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그래프로 읽는 이차부등식

교점은 방정식, 위아래는 부등식

포물선이 오르내리고 뒤집히며 x축 위는 민트, 아래는 장미색으로 물듭니다. 교점이 방정식의 해, 위아래가 부등식의 해이고, a 의 부호와 판별식에 따라 해가 바뀌는 것을 아래 수직선에서 바로 읽습니다. 중3 에서 고1 로 넘어가는 다리로 쓰기 좋은 여섯 장입니다.

🔬 함수 놀이터

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세고 나서 겹친 만큼 나눈다

수형도 하나로 곱의 법칙, 순열, 조합, 원순열

상의 셋 × 하의 둘의 수형도에서 곱의 법칙을, A ~ D 넷 중 셋을 줄 세우는 4 → 3 → 2 갈래에서 순열 24 를 셉니다. 같은 사람을 뽑은 끝 가지끼리 칠해 네 줄로 모으면 24 ÷ 3! = 4 가 조합이고, 둥근 탁자를 한 칸씩 돌려 이웃이 그대로인 넷을 한 묶음으로 세면 원순열 4! ÷ 4 = 6 인 여섯 장입니다.

🔬 경우의 수 나뭇가지🔬 겹쳐 세기 판

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직각삼각형 하나로 원까지

빗변은 거리, 세로 ÷ 가로는 기울기, 돌리면 수직, 빗변을 지키면 원

A(1, 1) 에서 B(5, 4) 로 가는 가로 4 · 세로 3 의 직각삼각형 하나로 거리 5 와 기울기 3/4 를 읽고, 삼각형을 90° 돌려 수직인 직선의 기울기 −4/3 을, 빗변을 지키며 돌려 원의 방정식을 얻습니다. 마지막에 같은 기울기의 직선을 밀어 원과 만나는 모양을 거리 d 와 반지름 r 로 가르는 여섯 장입니다.

🔬 좌표 위의 거리🔬 원 놀이터

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점은 더하고, 식은 뺀다

옮기고, 뒤집고, y = x 에 비추고, 1/x 를 늘려 옮기기

포물선 하나를 오른쪽으로 3 옮기면 꼭짓점은 +3 인데 식에는 x − 3 이 들어갑니다. 새 점 (4, 2) 가 옛 점 (1, 1) 에서 왔기 때문입니다. 부호를 바꿔 뒤집고, 반쪽 포물선을 y = x 에 비춰 √x 를 얻고, 1/x 를 세로로 늘리고 옮겨 (2x + 1)/(x − 1) 과 점근선을 만드는 여섯 장입니다.

🔬 함수 놀이터

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반으로 자르면 지수가 하나 준다

0 번, −1 번, 반 번 곱하기를 막대 하나로 정한다

2³ 막대를 반씩 잘라 왼쪽에 놓으면 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 1/2 이 됩니다. 칸을 옮기는 것이 곱하기라서 2³ × 2⁻³ = 2⁰ 이고, 반 칸은 √2 배, 칸을 잘게 메우면 곡선 y = 2ˣ 입니다. 그 곡선을 가로로 읽은 것이 로그인 여섯 장입니다.

🔬 지수·로그 놀이터🔬 지수 블록

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곱셈을 덧셈으로 바꾸는 곡선

y = 2ˣ 을 접으면 로그, 눈금을 누르면 직선

두 배씩 솟는 막대가 2x 막대를 금방 앞서고, 왼쪽으로는 절반씩 줄어 0 에 닿지 않습니다. 밑이 1 이 되면 곡선이 눕고, 곡선을 y = x 로 접으면 로그함수가 됩니다. 높이 1 과 2 를 쌓아 log 의 덧셈 성질을 보고, 가로축을 로그 눈금으로 누르면 곡선이 직선으로 펴지는 순간까지 이어지는 아홉 장입니다.

🔬 지수·로그 놀이터

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더하면 직선, 곱하면 곡선

같은 걸음, 같은 배. 거꾸로 얹고 한 칸 밀어 빼면 합이 나온다

막대 꼭대기에 더한 몫을 노랗게 칠하면 등차수열은 늘 같은 3, 등비수열은 앞 막대만큼 커집니다. 같은 계단을 거꾸로 얹어 직사각형을 만들면 등차수열의 합이, 두 배 한 벌을 한 칸 밀어 빼면 양 끝만 남아 등비수열의 합이 나오는 여섯 장입니다.

🔬 수열 애니메이터🔬 계단 쌓기

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단위원: 원 위의 점 하나가 삼각함수 전부다

원 → 특수각 → 부호 → tan → 사인파로 이어지는 한 장면

반지름이 1인 원 위의 점을 끌면 좌표가 그대로 cos과 sin이 됩니다. 장을 넘기면 같은 원이 삼각형과 사분면을 거쳐 접선 위의 tan, 그리고 사인파로 펼쳐집니다. 90°에서 tan이 사라지는 순간까지 그림이 이어서 변하는 일곱 장이며, 판서 펜과 발표자 화면을 갖췄습니다.

🔬 단위원 시계

▶ 내레이션 영상 · 9분

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원을 바꾸면 파동이 바뀐다

a 는 반지름, b 는 빠르기, c 는 출발 각, d 는 높이

y = a sin(bx + c) + d 의 계수 넷이 전부 원의 성질이라는 것을 보입니다. 원의 반지름을 키우면 파동이 세로로만 자라고(진폭), 점을 두 배 빨리 돌리면 같은 구간에 파동이 두 번 들어와 주기가 2π/b 가 되고, 원을 올리면 가운데 선이 따라 올라가며, 출발 각을 앞당기면 파동이 왼쪽으로 c/b 만큼 밀려 cos 가 됩니다. 단위원 덱의 마지막 장면을 그대로 이어 받는 일곱 장입니다.

🔬 파동 성형기

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직각이 아니어도 잴 수 있다

수선 하나, 외접원 하나, 정사각형 셋

삼각형 하나에 층을 차례로 켭니다. A 에서 내린 수선 하나를 양쪽 직각삼각형에서 두 번 재면 사인법칙이 되고, 외접원을 켜고 A 를 원 위에서 끌면 각이 그대로인 채 a / sin A 가 지름 2R 과 같은 수로 남습니다. 세 변 위에 정사각형을 세우면 직각일 때만 b² + c² 와 a² 가 꼭 맞고, 좁히면 모자라고 벌리면 넘치는 양이 2bc cos A 입니다. 같은 그림에서 넓이 ½ bc sin A 와 abc / 4R 까지 읽는 여섯 장입니다.

🔬 삼각형 실험대

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닿지 않아도 갈 곳은 정해진다

구멍 난 그래프, 이음매, 가로선 하나로 읽는 극한과 연속

y = (x² − 4)/(x − 2) 위의 두 점이 x = 2 의 구멍으로 다가가며 높이 4 를 향합니다. 열 배 확대해도 그림이 같습니다. 구멍을 채우고 옮기며 연속의 세 조건을 읽고, x² + k 와 3x 의 이음매를 k 로 맞춰 좌극한과 우극한을 보고, 이어진 곡선에 가로선을 그어 사잇값 정리를 확인하는 여섯 장입니다.

🔬 함수 놀이터

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두 점이 한 점이 될 때 기울기가 남는다

할선이 접선이 되는 순간을 손으로 민다

곡선 y = x² 위 두 점을 잇는 할선에서 한쪽 끝을 밀어 붙이면, 평균변화율 4, 3, 2.5, 2.1 이 2 로 모이며 접선이 빛납니다. 점을 끌어 미분계수를 읽고, 기울기를 모아 도함수 2x 를 그린 뒤 x³ 의 도함수 3x² 까지 그림이 이어서 변하는 여덟 장입니다.

🔬 접선 미끄러지기

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증가와 감소, 극대와 극소

기울기의 부호 하나가 그래프를 정한다

접점을 밀면 아래 판에 도함수가 그려지고 곡선이 오르는 구간은 민트, 내리는 구간은 장미색으로 물듭니다. 부호가 뒤집히는 자리의 극대 · 극소를 증감표로 옮기고, x³ − 3x 가 x³ 으로 녹아내리며 극값이 사라지는 순간까지 그림이 이어서 변하는 여섯 장입니다.

🔬 접선 미끄러지기

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점은 오가고, 그래프는 그 기록이다

위치의 기울기가 속도, 속도의 기울기가 가속도

수직선 위를 오가는 점 하나의 위치 x(t) = t³ − 6t² + 9t 에서 속도와 가속도를 꺼냅니다. 할선의 Δt 를 줄여 순간 속도를 얻고, 접선의 기울기를 모아 속도 그래프를 그리며, 속도가 0 인 순간 점이 되돌아가는 것을 수직선 위의 화살표로 봅니다. 마지막에 같은 규칙이 한 층 아래서 되풀이되어 가속도 그래프가 서는 여섯 장입니다.

🔬 도함수 탐정🔬 속력 그래프

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잘게 쪼개 더하면 넓이가 남는다

남는 조각이 기둥 하나로 모여 사라진다

곡선 y = x² 아래를 막대로 채우고 반씩 쪼개면 위 합과 아래 합이 8/3 로 모입니다. 삐져나온 조각을 한 줄로 모아 그 이유를 보고, 끝을 움직여 넓이 함수 x³/3 을 그린 뒤 넓이를 미분하면 높이가 돌아오는 미적분의 기본정리, x축 아래에서 넓이가 빠지는 것까지 그림이 이어서 변하는 아홉 장입니다.

🔬 적분 놀이터

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넓이로 재는 것들

속도 아래 넓이는 위치 변화, 뒤집어 더하면 움직인 거리

앞 덱 「속도와 가속도」의 마지막 질문에서 이어집니다. 같은 속도 v(t) = 3t² − 12t + 9 의 그래프 아래 넓이가 위치 변화 4 이고, 아래쪽 막대를 뒤집어 더하면 움직인 거리 12 입니다. 막대 높이를 위 − 아래로 바꿔 두 곡선 사이 넓이를 재고, 마지막에 포물선과 직선 사이 넓이가 두 교점의 폭만으로 정해지는 것((β − α)³ / 6)을 직선을 기울이며 확인하는 여섯 장입니다.

🔬 적분 놀이터

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