🔬 매스랩

공식을 읽기 전에, 먼저 손으로 만져 봅니다. 슬라이더를 밀고 조각을 끌어 개념이 움직이는 원리를 몸으로 익혀 보세요.

✨ 쇼케이스

수학이 만들어 내는 규칙을 한 장면으로 봅니다.

📈 미분과 적분을 장면으로 차례차례 이어 보기 →

Σ cₙ · e^(int)

원을 이어 돌리면

원 몇 개를 이어 돌리면 π 도 하트도 그려진다. 원이 많을수록 정확해진다

x = (−b ± √D) / 2a

사라진 근은 어디로 갔나

판별식이 음수가 되는 순간, 두 근은 사라지지 않고 허수축으로 솟아오른다

a² + b² = c²

넓이를 쏟아 붓다

두 정사각형에 담긴 물을 쏟으면 빗변의 정사각형이 정확히 가득 찬다

B(n, p) → N(np, npq)

무작위가 모이면

구슬 하나하나는 제멋대로 튀는데, 수백 개가 모이면 종 모양이 선다

y = sin θ

원과 파동은 한 물건

원을 도는 점을 시간 축으로 늘이면 나선이 되고, 옆에서 보면 사인파다

1 4 6 4 1

덧셈이 그린 프랙탈

파스칼 삼각형을 홀짝으로 칠하면 시에르핀스키 삼각형이 자라난다

137.5°

자연이 고른 각도

씨앗을 137.5° 씩 돌려 놓으면 해바라기가 핀다. 1° 만 바꿔도 무늬가 무너진다

1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1

끝없이 더해도 하나

반, 반의 반, 또 그 반을 끝없이 채워 넣어도 정사각형 하나를 넘지 않는다

Σ f(k/n)·1/n → ∫ f

막대가 넓이로 녹는다

막대를 잘게 쪼갤수록 계단이 사라지고 곡선 아래 넓이만 남는다

2 ∠APB = ∠AOB

어디서 봐도 같은 각

원 위 어디에 서서 봐도 같은 호를 보는 각은 모두 같다

S = πr²

원을 잘라 늘어놓으면

원을 부채꼴로 잘라 번갈아 뒤집어 늘어놓으면 직사각형이 된다. 조각이 많을수록 반듯해진다

2π rad = 360°

반지름을 둘레에 감으면

반지름 길이의 실을 원 둘레에 감으면 여섯 번 하고 조금 남는다. 그 조금까지가 2π

S = 4πr²

구를 감은 끈을 풀면

구를 빈틈없이 감은 끈을 풀어 펴면 같은 반지름의 원을 정확히 네 개 채운다

y² = 4px

빛이 한 점으로 모인다

평행하게 들어온 빛이 포물선에 부딪히면 전부 초점 한 점으로 모인다. 접시 안테나와 손전등이 이 모양인 이유

x²/a² + y²/b² = 1

두 못과 실로 그리는 타원

두 못에 실을 걸고 팽팽히 당겨 연필을 돌리면 타원이 그려진다. 못이 가까워지면 원이 된다

xy = a

넓이가 같은 직사각형들

넓이가 12 로 같은 직사각형의 오른쪽 위 꼭짓점을 따라가면 곡선이 된다. 가로가 두 배면 세로는 반

A + B + C = 180°

세 각을 찢어 붙이면

삼각형의 세 모서리를 찢어 한 점에 붙이면 정확히 일직선이 된다. 꼭짓점을 어디로 끌어도

(n − 2) × 180°

내각을 한 점에 모으면

n 각형의 내각을 전부 한 점에 모으면 반원이 (n − 2) 개 쌓인다. 삼각형이 하나, 사각형이 둘

외각의 합 = 360°

다각형을 줄이면 외각이 한 바퀴

변을 연장해 외각을 표시한 다각형을 한 점으로 줄이면, 외각들이 모여 정확히 한 바퀴 360° 가 된다. 몇 각형이든

1 − (5/6)^n

적어도 한 번

주사위를 n 번 던져 6 이 적어도 한 번 나올 확률. 한 번은 6 분의 1 뿐인데 스무 번이면 거의 확실해진다

P(B|A) = P(A∩B) / P(A)

조건이 표본공간을 자른다

주사위 두 개의 36 칸에서 조건에 맞는 칸만 남기면 확률의 분모가 바뀐다. 조건부확률은 남은 칸 안에서 다시 세는 것

σ(X̄) = σ/√n

아무 모양이라도 평균은 종 모양

울퉁불퉁한 모집단에서 표본을 뽑아 평균을 찍으면 종 모양이 선다. 표본이 클수록 좁아진다

(1 + 1/n)^n → e

이자를 자주 붙일수록

1 원을 연 100% 이자로 맡긴다. 1년에 한 번 붙이면 2 원, 매달이면 2.61 원, 매초면 2.718… 어디까지 오를까

sin x / x → 1

각이 작아지면 셋이 하나가 된다

단위원의 부채꼴을 안팎 삼각형이 끼운다. 각이 0 으로 가면 셋의 넓이가 겹쳐 하나가 되고, 그래서 sin x ÷ x 가 1 로 간다

Σ 1/k(k+1) → 1

도미노처럼 지워지는 합

1/(1·2) + 1/(2·3) + … 을 부분분수로 쪼개면 가운데가 전부 지워지고 처음과 끝만 남는다. n 을 아무리 늘려도 1 을 못 넘는다

d/dx ∫ f = f(x)

넓이가 자라는 빠르기

x 를 오른쪽으로 밀면 곡선 아래 넓이가 자란다. 그 자라는 빠르기가 바로 그 자리의 높이 f(x) 다

Δx = ∫ v dt

달린 거리는 그래프 아래 넓이

차가 달리는 동안 속도 그래프 아래 넓이가 쌓여 간 거리가 된다. 후진하면 넓이가 깎이고 위치는 돌아온다

L = ∫ √(1 + (dy/dx)²) dx

곡선을 잘라 펴면

곡선을 잘게 잘라 곧게 펴면 직선 한 줄. 조각이 많을수록 길이가 참값에 붙는다

S = n(a + l)/2

계단을 뒤집어 붙이면

일정하게 늘어나는 수를 쌓은 계단을 복제해 뒤집어 붙이면 직사각형이 된다. 그래서 합은 (첫항 + 끝항) × n ÷ 2

k : k² : k³

두 배로 키우면 타일은 네 개

길이를 k 배 하면 타일은 k² 개, 상자는 k³ 개 들어간다. 2 배면 4 개와 8 개, 3 배면 9 개와 27 개

a × b = G × L

직사각형을 정사각형으로 채우면

a × b 직사각형을 가장 큰 정사각형부터 채워 가면 마지막에 남는 가장 작은 정사각형의 변이 최대공약수. 그 정사각형으로 큰 정사각형을 채우면 최소공배수

log ab = log a + log b

자를 밀면 곱셈이 덧셈이 된다

로그 눈금을 새긴 자 두 개를 밀어 맞대면 곱셈이 길이의 덧셈이 된다. 60 년 전 공학자들이 들고 다니던 계산기

i^4 = 1

곱할 때마다 90°

i 를 곱할 때마다 화살표가 90° 돈다. 네 번이면 제자리, 그래서 i 의 거듭제곱은 네 개가 돌고 돈다

2^m × 2^n = 2^(m+n)

종이를 접을 때마다 두 배

종이를 한 번 접으면 두께가 2 배, 열 번이면 1024 배, 마흔두 번이면 달까지 닿는다. 지수는 이렇게 자란다

e^(iπ) = −1

한 걸음씩 돌다 보면

1 에서 출발해 옆으로만 n 번 걷는다. 걸음이 잘수록 길은 원이 되고 도착점은 −1 에 붙는다

Σ 1/(2n) = ∞

책을 쌓으면 탑은 끝없이

더 밀리는 길이는 0 으로 줄어드는데, 탑은 책 두 권 · 세 권 길이만큼 허공으로 뻗어 나간다

(e^x)′ = e^x

기울기가 제 높이와 같은 곡선

점을 어디로 옮겨도 접선의 기울기가 그 자리 높이의 몇 배인지는 그대로다. 그 배수가 1 인 밑은 딱 하나, e 다

x̄ ± k·σ/√n

구간 100 개를 그으면

표본을 뽑을 때마다 구간을 하나씩 긋는다. 100 개를 그으면 모평균을 덮는 것이 95 개 안팎이다. 신뢰도 95% 는 이 맞히는 비율이다

Z = (X − m)/σ

모든 종이 하나로 포개진다

평균도 폭도 다른 종 모양 셋에서 평균을 빼고 표준편차로 나누면, 세 종이 한 종으로 겹친다

nPr = nCr × r!

순서를 지우면 r! 개가 하나로

다섯 명 중 셋을 뽑아 줄 세운 60 가지에서 순서를 지우면 여섯 장씩 10 더미가 남는다. 더미는 전부 같은 높이다

MN // BC, MN = BC/2

아무 사각형이나 중점을 이으면

아무렇게나 그린 사각형도 네 변의 중점을 이으면 평행사변형이 된다. 오목하게 찌그러뜨려도 그대로다

a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A

직각이 아니면 넘치거나 모자란다

두 정사각형의 물을 셋째 정사각형에 부으면 직각일 때만 꼭 찬다. 넘치거나 모자란 양은 늘 2bc·cos A 다

S = r(a + b + c)/2

삼각형을 펼치면 높이가 모두 r

내심에서 자른 세 조각을 한 줄로 펼치면 꼭짓점이 모두 내접원의 반지름 높이에 닿는다

Σk^3 = {n(n+1)/2}^2

세제곱을 쌓으면 정사각형

1³ + 2³ + 3³ + 4³ 은 100, 곧 10 × 10 이다. 정육면체를 판으로 펴서 ㄱ자로 두르면 세제곱의 합이 늘 정사각형이 된다

∫uv' dx = uv − ∫u'v dx

직사각형을 곡선이 가른다

곡선이 직사각형을 두 넓이로 가른다. 곡선을 아무리 휘어도 두 넓이의 합은 uv 의 차 그대로라, 한쪽을 알면 다른 쪽이 나온다

(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

정육면체를 여덟 조각으로

한 변이 a + b 인 정육면체를 잘라 여덟 조각을 모양대로 모으면 1 · 3 · 3 · 1 개. 가운데 계수 3 은 같은 조각이 세 개라서다

{f(g(x))}′ = f′(g(x)) g′(x)

톱니바퀴 셋, 빠르기는 곱해진다

x = 1 에서 x 바퀴를 한 칸 돌리면 u 는 두 칸, y 는 여섯 칸. 속이 x 보다 몇 배, 겉이 속보다 몇 배 빨리 도는지를 곱하면 전체의 빠르기가 나온다

∫ 1/x dx = ln|x| + C

1/x 아래 넓이는 곱을 합으로

1/x 아래 띠를 가로로 늘이고 세로로 누르면 곡선을 따라 미끄러지며 넓이가 그대로다. 그래서 곱까지의 넓이가 두 넓이의 합이 된다

∫|a(x−α)(x−β)| dx = |a|(β−α)^3/6

포물선을 삼각형으로 채우면 4/3

포물선과 직선 사이를 삼각형으로 채우면 단계마다 넓이가 1/4 로 준다. 다 채우면 첫 삼각형의 4/3, 직선을 기울여도 그대로다

px/a^2 + qy/b^2 = 1

한 초점에서 친 공은 다른 초점으로

타원 모양 당구대의 한 초점에서 공을 치면 어느 방향으로 쳐도 벽에 맞고 다른 초점을 지난다. 스물네 개를 한꺼번에 치면 한꺼번에 모인다

sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ

직사각형 하나에 담긴 덧셈정리

직각삼각형 둘을 쌓으면 직사각형이 된다. 한쪽 변은 sin(α+β) 한 토막, 마주 보는 변은 두 토막이라 덧셈정리가 길이로 보인다. 두 각이 같으면 2배각

(x^n)′ = nx^(n−1)

자라는 정육면체의 겉껍질

정육면체에 얇은 껍질을 씌우고 두께로 나누면 판 셋만 남는다. 그래서 x³ 을 미분하면 3x², 정육면체 겉넓이의 절반이다

n → 2n mod 200

구구단을 원 위에 그으면

원 위 점 200 개에서 번호마다 2 를 곱한 번호의 점까지 곧은 선을 그으면 심장 모양이 떠오른다. 곱하는 수를 바꾸면 모양이 이어서 바뀐다

2 3 5 7 11 13

수를 소용돌이로 적으면 소수가 줄을 선다

1 부터 소용돌이로 적고 소수만 칠하면 소수가 비스듬한 줄에 모인다. 왜 어떤 줄에 유난히 많은지는 아직 다 밝혀지지 않았다

f′(a) = lim Δy / Δx

확대하면 곡선이 곧아진다

곡선의 한 점을 계속 확대하면 결국 직선이 된다. 그 직선의 기울기가 그 점의 미분계수다. 꺾인 점만은 아무리 확대해도 꺾여 있다

v = lim Δs / Δt

재는 시간을 줄이면 평균이 순간이 된다

두 시각 사이의 평균 속력을 재고 그 사이를 좁혀 간다. 두 점을 잇던 선이 접선으로 돌아가고, 평균 속력은 속도계가 가리키는 순간 속력 하나로 모인다

f(x) → f′(x)

기울기를 찍으면 새 그래프가 된다

곡선을 따라 접선을 굴리며 기울기를 아래에 찍으면 새 곡선이 그려진다. sin x 를 찍으면 cos x 가 되고, eˣ 를 찍으면 자기 자신이 나온다

함수 놀이터

계수를 밀면 그래프가 휜다