확률과통계
이항분포의 평균·분산·표준편차
이항분포의 평균과 분산은 확률분포표를 만들어 일일이 더하지 않아도 나온다. n 번의 시행을 한 번짜리 시행 n 개의 합으로 보면 되기 때문이다. 한 번을 풀어 두고 n 배 하는 것이 이 공식의 전부다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 이항분포를 0 또는 1 을 값으로 갖는 확률변수 n 개의 합으로 본다
- 한 번의 시행에서 평균과 분산을 구한 뒤 n 배로 넓힌다
- 분산에 근호를 씌워 표준편차를 구하고 단위가 왜 되돌아오는지 안다
- 평균 np 와 분산 np(1−p) 를 n 과 p 로 바로 쓴다
한 단계씩 유도해 보기
성공이면 1, 실패면 0 인 확률변수 n 개의 합으로 본다. 각 시행은 독립이고 성공확률이 모두 p 로 같다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
한 번의 시행을 풀어 두고 n 배 한다. 평균이 np 인 것은 세어 보면 당연하고, 분산의 p(1−p) 만 한 번 확인하면 된다. 표준편차는 분산에 근호를 씌운 것이라 따로 외울 것이 없다.
동전 n 번 던지기로 확인한다. p = 1/2 이면 앞면이 나오는 횟수의 평균은 n/2 인데 공식도 np = n/2 로 맞는다. 분산은 한 번의 시행에서 p − p² 이고, p = 1/2 이면 1/4 로 가장 크다. 성공확률이 0 이나 1 에 가까울수록 결과가 뻔해져 분산이 0 으로 간다는 것과 맞아떨어진다. 표준편차를 물으면 √(np(1−p)) 로 근호를 씌우는 것을 잊지 않는다.