이산확률변수와 이항분포

개요

지금까지는 “이 사건이 일어날 확률”을 하나씩 구했다. 그런데 주사위를 $100$ 번 던져 나온 눈의 합처럼 결과가 수로 나오는 시행이라면, 값마다 확률을 따로 묻기보다 값 전체의 분포를 한눈에 보는 편이 낫다.

시행의 결과에 수를 대응시킨 것이 확률변수이고, 그 값과 확률의 대응 관계가 확률분포다. 이 소단원에서 다루는 확률변수는 값이 $0, 1, 2, \dots$ 처럼 셀 수 있는 이산확률변수이고, 분포를 요약하는 두 수가 **평균(기댓값)**과 분산인데, 이는 중3에서 배운 대푯값과 산포도를 확률의 세계로 옮긴 것이다.

값이 셀 수 없이 구간 전체에 퍼진 연속확률변수와, 그중 가장 중요한 정규분포는 다음 소단원 연속확률변수와 정규분포에서 잇는다.

핵심 사실

• 확률변수 $X$ 는 표본공간의 각 결과에 실수를 대응시킨 것이고, $X$ 가 가질 수 있는 값과 그 확률의 대응이 확률분포다.
• 이산확률변수의 평균·분산·표준편차

$$E(X) = \sum x_i p_i,\qquad V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2,\qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

• 일차식으로 바꾸면 평균은 그대로 따라가고 분산은 계수의 제곱만큼 커진다.

$$E(aX+b) = aE(X)+b,\qquad V(aX+b) = a^2V(X)$$

• 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$: 독립시행을 $n$ 번 해서 성공 횟수를 $X$ 라 하면

$$E(X) = np,\qquad V(X) = np(1-p)$$

정규분포는 평균과 표준편차에 따라 무수히 많은데 표는 하나뿐입니다. 어떻게 가능한지는 두 단계입니다: 평균을 빼서 중심을 $0$ 으로 옮기고, 표준편차로 나눠 폭을 $1$ 로 맞춥니다.

$$X\sim \mathrm{N}(m,{\sigma }^2)$$

평균 m, 표준편차 σ 인 정규분포를 따르는 확률변수에서 출발한다.

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