이차곡선 위의 점에서의 접선
치는 방향 50° 맞은 점 (−1.618, 2.839) F 쪽 각 38.40° F′ 쪽 각 38.40° 되튄 공이 F′ 에서 비껴간 거리 0.000
되튀는 방향은 맞은 점 양옆 타원 위 두 점으로 잰 접선에 비춰 정한다(F′ 의 자리는 안 쓴다). 공 24 개가 비껴간 거리는 모두 0.000, F 에서 간 길이는 모두 10.000 이라 한꺼번에 닿는다. 비교: 잰 접선 위 두 점을 접선의 공식 px/25 + qy/9 = 1 에 넣으면 1.000 · 1.000
타원 모양 당구대의 한 초점 F 에서 공을 치면, 어느 방향으로 쳐도 벽에 맞고 튄 공은 다른 초점 F′ 을 지난다. 튀는 방향은 맞은 점의 접선이 거울이 되어 정하는데, 맞은 점과 두 초점을 잇는 두 선이 이 접선과 같은 각을 이루기 때문이다. 그 접선이 px/a² + qy/b² = 1 이다. 두 초점까지 거리의 합은 어디서나 같아서, 한꺼번에 친 공은 한꺼번에 F′ 에 닿는다. 속삭이면 방 건너편 한 자리에서만 들리는 타원 모양 방이 이 원리다.
곡선 위의 점에서 그은 접선의 식은 외울 것이 거의 없다. 원에서 쓰던 바꿔 쓰기를 그대로 가져오면 된다. 곡선의 식에서 제곱된 자리를 한 짝씩만 접점 좌표로 바꾸는 것이 전부다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 원의 접선에서 쓰던 바꿔 쓰기를 타원과 쌍곡선으로 옮긴다
- 접점이 곡선 위에 있어야 이 꼴이 성립함을 안다
- 포물선에서는 x 가 어떻게 바뀌는지 구별한다
한 단계씩 유도해 보기
원에서 이미 확인한 꼴이다. x 의 제곱을 x1 곱하기 x 로, y 의 제곱을 y1 곱하기 y 로 한 짝씩만 접점 좌표로 바꿔 썼다.
1 / 4 단계
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
곡선의 식에서 제곱된 자리를 접점 좌표로 한 짝씩만 바꿔 쓴 꼴이기 때문이다.
원에서 x 제곱이 x1x 가 되던 것을 떠올린다. 타원이면 분모를 그대로 두고 같은 일을 하고, 쌍곡선이면 부호가 따라온다. 제곱이 없는 문자는 평균으로 바뀐다고 기억하면 포물선까지 한 규칙으로 덮인다.
이런 실수를 조심하세요
- 접점이 곡선 위에 없는데 이 꼴을 쓰는 경우: 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 두 개이고 다른 방법으로 구한다
- 분모의 a 제곱과 b 제곱까지 접점 좌표로 바꾸는 경우: 바꾸는 것은 제곱된 변수뿐이다
- 포물선에서 x 를 x1 으로 그냥 바꾸는 경우: 제곱이 없는 쪽은 x 와 x1 의 평균이다
예제
문제. 타원 x 제곱 나누기 9 더하기 y 제곱 나누기 4 가 1 위의 점 (3, 0) 에서의 접선을 구하시오.
답. x = 3
바꿔 쓰면 3x 나누기 9 더하기 0 이 1 이므로 x 나누기 3 이 1, 곧 x = 3 이다. 긴 축의 끝점이라 접선이 세로로 선다.