기하

이차곡선 위의 점에서의 접선

\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1

곡선 위의 점에서 그은 접선의 식은 외울 것이 거의 없다. 원에서 쓰던 바꿔 쓰기를 그대로 가져오면 된다. 곡선의 식에서 제곱된 자리를 한 짝씩만 접점 좌표로 바꾸는 것이 전부다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

접선의 식은 곡선의 식에서 제곱된 자리를 한 짝씩만 접점 좌표로 바꿔 쓴 꼴이다. 원에서 쓰던 규칙이 타원에서도 그대로 통하고, 쌍곡선은 부호만 따라온다. 접점이 곡선 위에 있을 때만 이 꼴이 성립한다.

x^{2} + y^{2} = r^{2} ⟶ x_{1} x + y_{1} y = r^{2}

원에서 이미 확인한 꼴이다. x 의 제곱을 x1 곱하기 x 로, y 의 제곱을 y1 곱하기 y 로 한 짝씩만 접점 좌표로 바꿔 썼다.

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외우지 않아도 된다

곡선의 식에서 제곱된 자리를 접점 좌표로 한 짝씩만 바꿔 쓴 꼴이기 때문이다.

원에서 x 제곱이 x1x 가 되던 것을 떠올린다. 타원이면 분모를 그대로 두고 같은 일을 하고, 쌍곡선이면 부호가 따라온다. 제곱이 없는 문자는 평균으로 바뀐다고 기억하면 포물선까지 한 규칙으로 덮인다.

문제. 타원 x 제곱 나누기 9 더하기 y 제곱 나누기 4 가 1 위의 점 (3, 0) 에서의 접선을 구하시오.

답. x = 3

바꿔 쓰면 3x 나누기 9 더하기 0 이 1 이므로 x 나누기 3 이 1, 곧 x = 3 이다. 긴 축의 끝점이라 접선이 세로로 선다.