이차곡선

개요

원뿔을 평면으로 자르면 자르는 각도에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 차례로 나온다. 그래서 이 네 곡선을 묶어 원뿔곡선 또는 이차곡선이라 부른다. 식으로 보면 모두 $x$ 와 $y$ 에 대한 이차식이라는 공통점이 있다.

공통수학2에서 원을 “한 점에서 같은 거리에 있는 점의 모임”으로 정의했듯, 이차곡선도 전부 거리 조건으로 정의된다. 어떤 거리를 어떻게 묶느냐만 다를 뿐이다. 정의를 외우지 말고 “무엇과 무엇의 거리를 어떻게 했는가”로 기억하면 세 곡선이 한 이야기로 정리된다.

행성의 궤도(타원), 위성 안테나의 단면(포물선), 원자핵 산란 실험의 경로(쌍곡선)처럼 자연과 기술 곳곳에 이 곡선들이 나타난다.

핵심 사실

• 축이 $x$ 축이면 $y^2 = 4px$, $y$ 축이면 $x^2 = 4py$ 다. 제곱이 붙지 않은 문자 쪽이 축의 방향이다.
• 타원: 두 초점 $F, F'$ 에서의 거리의 합이 일정한 점의 모임이다. 그 합을 $2a$ 라 하면

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad a^2 = b^2 + c^2 \ \ (a > b)$$

• 이때 초점은 긴 축 위의 $(\pm c, 0)$ 이고, 거리의 합은 긴 지름 $2a$ 와 같다.
• 쌍곡선: 두 초점에서의 거리의 차의 절댓값이 일정한 점의 모임이다. 그 차를 $2a$ 라 하면

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad c^2 = a^2 + b^2$$

• 쌍곡선의 점근선은 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$ 이며, 곡선이 무한히 뻗어 나가며 이 두 직선에 한없이 가까워진다.
• 평행이동: $x$ 대신 $x - m$, $y$ 대신 $y - n$ 을 넣으면 중심(또는 꼭짓점)이 $(m, n)$ 으로 옮겨 간다. 도형의 이동에서 쓰던 규칙 그대로다.
• 접선: 이차곡선 위의 점 $(x_1, y_1)$ 에서의 접선은 원의 접선과 같은 방식으로 얻는다. 타원이면 $\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$ 이다.
• 반사 성질: 포물선은 축에 나란히 들어온 빛을 모두 초점으로 모으고, 타원은 한 초점에서 나온 빛이 반드시 다른 초점을 지난다. 접시 안테나와 속삭임의 회랑이 이 성질을 쓴다.

위의 표준형들은 정의를 좌표로 옮겨 근호를 없앤 결과일 뿐입니다. 그러니 표준형을 외우기 전에 정의가 정말 그런지 확인해 보세요. 아래에서 곡선 위의 점 $\mathrm{P}$ 를 밀면 초점까지의 거리가 숫자로 계속 바뀌는데, 포물선은 준선까지의 거리와 늘 같고, 타원은 두 거리의 합이, 쌍곡선은 차가 꿈쩍도 하지 않습니다. $a$ 와 $b$ 를 밀면 초점이 따라 움직이니, 시험 포인트 첫 줄의 $a^2 = b^2 + c^2$ 와 $c^2 = a^2 + b^2$ 가 어느 쪽 이야기인지도 그림으로 갈립니다. (타원의 표준형이 정의에서 어떻게 나오는지는 타원의 방정식에 단계별로 적어 두었습니다.)

타원, 거리의 합이 일정초점이 y축으로 (a < b)포물선, 초점과 준선까지 같은 거리쌍곡선, 거리의 차가 일정

포물선타원쌍곡선

a = 4 b = 2.5 각 θ = 50°

x²/16 + y²/6.25 = 1

a² = b² + c² → c = 3.12, 초점은 긴 축이 x축이므로 (±c, 0)

PF + PF′ = 1.99 + 6.01 = 8 = 2×4 = 긴 지름 θ 를 한 바퀴 돌려도 이 합은 꿈쩍하지 않는다. 이것이 타원의 정의다

타원입니다. 두 초점까지의 거리가 1.99 과 6.01 이고 합은 8 로, 긴 지름 8 와 같습니다. 점 P 는 2.57, 1.92 입니다. P 를 어디로 옮겨도 이 합은 변하지 않습니다.

비교표

	정의(거리 조건)	표준형	초점 관계
포물선	초점과 준선까지 같은 거리	$y^2 = 4px$	초점 $(p,0)$, 준선 $x=-p$
타원	두 초점까지 거리의 합이 일정	$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$	$a^2 = b^2 + c^2$
쌍곡선	두 초점까지 거리의 차가 일정	$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$	$c^2 = a^2 + b^2$

시험 포인트

• 타원과 쌍곡선의 초점 관계식을 뒤바꾸지 않는다. 타원은 $a^2 = b^2 + c^2$(가장 큰 것이 $a$), 쌍곡선은 $c^2 = a^2 + b^2$(가장 큰 것이 $c$)다. 그림에서 초점이 곡선 안쪽인지 바깥쪽인지로 확인한다.
• 부호로 종류를 먼저 판정한다. $x^2$ 항과 $y^2$ 항의 부호가 같으면 타원, 다르면 쌍곡선, 한쪽이 없으면 포물선이다.
• 정의로 돌아가면 풀리는 문제가 많다. “초점까지의 거리의 합”이나 “준선까지의 거리”를 묻는 문제는 표준형을 쓰지 않고 정의만으로 답이 나온다.
• 점근선은 쌍곡선에만 있다. 기울기가 $\pm\frac{b}{a}$ 이므로 점근선이 주어지면 $a$ 와 $b$ 의 비를 바로 알 수 있다.
• 평행이동된 식은 완전제곱으로 정리한 뒤 중심을 읽는다. 정리하기 전 계수만 보고 초점을 구하면 틀린다.