고1 문자와식
세 수의 세제곱의 합
문자가 셋이라 새로 외울 공식처럼 보이지만, 둘을 한 덩어리로 묶으면 이미 아는 세제곱의 합으로 떨어진다. 좌변에 붙은 3abc 가 빠지면 인수분해가 되지 않는다는 점이 이 항등식의 급소다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 두 문자를 한 덩어리로 묶어 아는 공식으로 되돌린다
- 우변 괄호의 부호를 유도로 확인한다
- 세 수의 합이 0 인 경우에 세제곱의 합이 3abc 임을 끌어낸다
한 단계씩 유도해 보기
곱셈 공식의 변형이다. 문자 셋 가운데 둘을 먼저 묶어 두 문자 꼴로 만드는 것이 유도 전체의 방향이다.
1 / 5 단계
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
둘을 묶는 한 수로 아는 공식에 닿는다.
a 와 b 를 한 덩어리로 묶는 것이 전부다. 두 세제곱의 합을 (a+b)의 세제곱에서 3ab(a+b) 를 뺀 꼴로 바꾸면 세제곱이 둘만 남고, 거기에 세제곱의 합 공식을 쓰면 a+b+c 가 두 항에 공통으로 나온다. 묶어내면 끝이다. 우변 괄호의 부호가 헷갈리면 제곱 셋은 더하고 곱 셋은 뺀다고 기억한다.
이런 실수를 조심하세요
- 좌변에서 3abc 를 빼는 것을 빠뜨리는 경우. 이 항이 없으면 a+b+c 로 묶이지 않는다
- 우변 괄호의 곱 셋을 더하기로 적는 경우. ab, bc, ca 의 부호는 모두 음수다
- 세 수의 합이 0 이라는 조건을 보고 좌변 전체가 0 이라고 읽는 경우. 0 이 되는 것은 우변이고, 그래서 세제곱의 합이 3abc 가 된다
예제
문제. a + b + c = 0 일 때 a³ + b³ + c³ 을 abc 로 나타내시오.
답. 3abc
공식의 우변에 a+b+c = 0 을 넣으면 우변 전체가 0 이다. 따라서 좌변도 0 이고 a³+b³+c³ = 3abc 다. 예를 들어 1 + 2 + (-3) = 0 인데 1 + 8 - 27 = -18 이고 3 × 1 × 2 × (-3) = -18 로 맞는다.