다항식과 나머지정리

개요

Unit 4의 인수분해에서 우리는 이차식 $ax^2 + bx + c$ 를 두 일차식의 곱으로 되돌리는 눈을 길렀다. 이번에는 차수가 하나 더 올라간다. $x^3$ 이 등장하는 삼차의 세계로 들어서는 것이다. 겁먹을 필요는 없다. 규칙은 이차에서 쓰던 것과 똑같고, 차수만 커질 뿐이다. 이차에 곱셈공식이 있었듯 삼차에도 곱셈공식이 있고, 나눗셈에는 직접 나누지 않고도 나머지를 알아내는 지름길이 하나 더 생긴다.

핵심 사실

• 삼차 곱셈공식은 이차의 확장이다.

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \qquad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

• 두 세제곱의 차도 짝을 이룬다: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. 앞 괄호의 부호와 가운데 항의 부호가 서로 맞물려 바뀐다.
• 세 수의 세제곱의 합도 같은 목록에 든다. 문자가 셋이라 새 공식처럼 보이지만, 둘을 한 덩어리로 묶으면 바로 위의 $a^3 + b^3$ 꼴로 되돌아간다.

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

좌변에서 $3abc$ 를 빼는 것이 급소다. 이 항이 없으면 $a+b+c$ 로 묶이지 않는다. 특히 $a+b+c=0$ 이면 우변이 통째로 $0$ 이므로 $a^3+b^3+c^3=3abc$ 가 되는데, 이 꼴로 묻는 문제가 자주 나온다. 단계별 유도는 세 수의 세제곱의 합 편에 있다.

곱셈공식은 외우는 것이 아니라 분배법칙을 두 번 쓴 결과다. 아래에서 $(a+b)^3$ 이 한 단계씩 펼쳐지는 것을 따라가 보세요. 이미 아는 $(a+b)^2$ 에 $(a+b)$ 를 한 번 더 곱하는 것이 전부입니다. 가운데 계수 $3$ 이 어디서 모이는지가 그 과정에서 보이면, $3$ 을 따로 외울 필요가 없어집니다.

$$(a+b{)}^3=(a+b{)}^2(a+b)$$

세제곱은 제곱에 한 번 더 곱한 것이다.

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1 / 5 단계

• 다항식 나눗셈은 정수 나눗셈과 같은 꼴이다. 다항식 $A$ 를 $B$ 로 나누면 몫 $Q$ 와 나머지 $R$ 에 대해

$$A = BQ + R$$

가 성립하고, 이때 나머지 $R$ 의 차수는 나누는 식 $B$ 의 차수보다 낮다. $B$ 가 일차식이면 나머지는 상수(숫자)다.

• 나머지정리: 다항식 $f(x)$ 를 $(x - a)$ 로 나눈 나머지는 $f(a)$ 다. 굳이 긴 나눗셈을 하지 않고 $x$ 자리에 $a$ 를 대입하기만 하면 나머지가 나온다.
• 인수정리: $f(a) = 0$ 이면 $(x - a)$ 는 $f(x)$ 의 인수다. 나머지가 $0$ 이라는 것은 딱 나누어떨어진다는 뜻이기 때문이다. 이 정리는 삼차식을 인수분해할 때, 근이 될 만한 값을 대입해 인수를 하나 찾아내는 출발점이 된다.

비교표

나머지 구하는 법	방법	언제 쓰나	장점
직접 나눗셈	다항식을 실제로 나눈다	몫까지 필요할 때	몫과 나머지를 함께 얻는다
나머지정리	$f(a)$ 를 대입해 계산	나머지만 필요할 때	나눗셈 없이 대입 한 번으로 끝

시험 포인트

• $(a + b)^3 \neq a^3 + b^3$ 이다. 가운데 항 $3a^2b + 3ab^2$ 이 빠지지 않는다. 세제곱을 편하게 나눠 쓰고 싶은 유혹을 조심하자.
• $(x - 2)$ 로 나눈 나머지는 $f(-2)$ 가 아니라 $f(2)$ 다. 나누는 식이 $(x - a)$ 꼴일 때 대입값은 $x = a$, 곧 부호를 뒤집어 읽는다.
• 인수정리로 인수를 찾을 때는 상수항의 약수부터 대입해 본다. $f(a) = 0$ 을 만드는 $a$ 를 찾으면 $(x - a)$ 가 인수로 확정된다.