부분적분
📖 이 페이지의 개념치환적분과 부분적분
노랑 ∫u dv 6.20 파랑 ∫v du 4.80 노랑 + 파랑 11.00 큰 직사각형 − 작은 직사각형 4 × 3 − 1 × 1 = 11.00
두 넓이는 곡선(1000 조각 꺾은선)과 축이 둘러싼 도형을 꼭짓점 좌표로 잰다. u = u(x), v = v(x) 라 dv = v'dx, du = u'dx 다. 비교: ∫u v' dx 를 x 로 잘게 나눠 더하면 6.20, uv − ∫u'v dx = 11.00 − 4.80 = 6.20
점 (u, v) 가 곡선을 따라 움직이면, 곡선이 큰 직사각형에서 모서리의 작은 직사각형을 뺀 땅을 둘로 가른다. 왼쪽 조각은 길이 u, 두께 dv 인 가로 띠를 쌓은 ∫u dv 이고, 아래 조각은 높이 v, 폭 du 인 세로 띠를 쌓은 ∫v du 다. 곡선이 어떻게 휘든 둘을 합치면 uv 의 끝값에서 처음값을 뺀 것이 되고, 이것을 옮겨 적은 것이 ∫uv' dx = uv − ∫u'v dx 다.
곱으로 된 함수를 곧바로 적분하는 규칙은 없다. 대신 곱의 미분법을 거꾸로 읽으면, 적분해야 할 곱 하나를 더 쉬운 곱 하나로 바꿔 주는 식이 나온다. 문제를 끝내는 공식이 아니라 문제를 갈아 끼우는 공식이라, 어느 쪽을 u 로 둘지가 승부를 가른다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 곱의 미분법에서 부분적분 공식을 유도한다
- 미분하면 단순해지는 쪽을 u 로 고르는 기준을 적용한다
- 정적분에서 uv 자리에 위끝과 아래끝을 대입한다
한 단계씩 유도해 보기
곱의 미분법에서 출발한다. 우리가 적분하고 싶은 것은 오른쪽 두 항 가운데 uv′ 이다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
곱의 미분법을 적고 항을 옮겨 양변을 적분하면 끝난다. 세 걸음이다.
(uv)′ = u′v + uv′ 를 먼저 적는다. 구하고 싶은 것이 uv′ 의 적분이므로 그 항만 남기고 옮긴 뒤 양변을 적분한다. (uv)′ 의 적분은 uv 로 돌아오므로 ∫uv′ = uv − ∫u′v 다. 부호가 헷갈리면 간단한 예로 확인한다. ∫x·e^x dx 에서 u = x, v′ = e^x 로 두면 xe^x − e^x + C 가 나오는데 이것을 미분하면 xe^x 로 되돌아온다. u 는 미분해서 단순해지는 쪽, v′ 은 적분해도 감당되는 쪽으로 고른다. 로그와 다항식이 u 자리에, 지수함수와 삼각함수가 v′ 자리에 오는 경우가 많다.