여러 가지 적분법

개요

미분은 규칙만 알면 기계적으로 할 수 있지만, 적분은 사정이 다르다. “미분해서 이 식이 되는 함수를 찾는” 역방향 작업이라 정해진 절차가 없고, 식의 모양을 보고 알맞은 방법을 고르는 안목이 필요하다.

미적분Ⅰ에서 다항함수의 적분을 배웠다면, 여기서는 두 가지가 늘어난다. 하나는 적분할 수 있는 함수의 종류(지수·로그·삼각), 다른 하나는 방법이다. 방법은 둘뿐이다: 연쇄법칙을 거꾸로 돌린 치환적분과 곱의 미분법을 거꾸로 돌린 부분적분. 미분 규칙 하나에 적분 방법 하나가 짝지어져 있는 셈이다.

핵심 사실

• 삼각함수의 적분: 부호가 미분과 반대쪽에 붙는다.

$$\int \sin x\, dx = -\cos x + C,\qquad \int \cos x\, dx = \sin x + C,\qquad \int \sec^2 x\, dx = \tan x + C$$

• $\int \frac{1}{x}dx$ 에는 절댓값이 붙는다. $x < 0$ 에서도 성립하게 하려면 $\ln|x|$ 여야 한다.
• 치환적분: 식 안에 어떤 덩어리와 그 덩어리의 미분이 함께 들어 있으면 그 덩어리를 $t$ 로 놓는다.

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \qquad (t = g(x))$$

• 예를 들어 $\int 2x e^{x^2} dx$ 는 $t = x^2$ 으로 놓으면 $dt = 2x\,dx$ 이므로 $\int e^t dt = e^{x^2} + C$ 다.
• 로그 꼴 치환: 분자가 분모의 미분이면 곧바로 로그가 된다.

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C$$

• 부분적분: 성격이 다른 두 함수의 곱을 적분할 때 쓴다.

$$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$$

• 무엇을 $f$ 로 둘 것인가? 미분하면 간단해지는 쪽을 $f$ 로 둔다. 로그·다항식이 대개 $f$, 지수·삼각이 $g'$ 이다. $\int x e^x dx$ 는 $f = x$, $g' = e^x$ 로 두면 $xe^x - e^x + C$ 가 나온다.
• 정적분의 치환은 적분 구간도 함께 바꾼다. $x$ 의 범위를 $t$ 의 범위로 옮기면 마지막에 원래 변수로 되돌릴 필요가 없다.

위 두 방법은 하늘에서 떨어진 규칙이 아니다. 치환적분은 연쇄법칙을 거꾸로 돌린 것이고 ($t=g(x)$ 로 놓고 $dt=g'(x)dx$ 로 갈아입는 순간이 곧 연쇄법칙의 $g'(x)$ 를 되찾는 자리다) 부분적분은 곱의 미분법의 양변을 그대로 적분한 것이다. 본문의 식을 대신하는 것이 아니라, 그 식이 나오는 자리를 프리셋으로 갈아 끼우며 손으로 다시 밟아 보는 것이다.

치환적분 유도 (연쇄법칙을 거꾸로)부분적분 유도 (곱의 미분법을 거꾸로)

$$\frac{d}{dx}F(g(x))=F^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$$

연쇄법칙을 거꾸로 읽는다. F′=f 라 하면 우변이 f(g(x))g′(x) 다. 이것을 적분하면 좌변이 곧바로 원시함수다.

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