중복조합
같은 것을 여러 번 골라도 되고 순서는 따지지 않는 뽑기다. 사탕 세 종류에서 다섯 개를 고르는 일이 여기 속한다. 외울 식처럼 보이지만 실제로는 조합 하나를 다른 말로 적은 것뿐이다. 고른 결과를 동그라미와 칸막이로 한 줄에 늘어놓으면, 중복조합은 그 줄에서 동그라미가 놓일 자리를 고르는 일이 된다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 중복조합이 순서를 따지지 않고 중복을 허락하는 뽑기임을 다른 셈법과 구별한다
- 칸막이 그림으로 아래 첨자 n+r-1 과 r 이 어디서 나왔는지 설명한다
- 중복조합의 수를 조합으로 바꿔 계산한다
한 단계씩 유도해 보기
순서를 안 따지므로 각 종류를 몇 개 골랐는지만 적으면 뽑기 하나가 정해진다. 뽑기를 세는 일이 이 방정식의 해를 세는 일로 바뀐다.
1 / 5 단계
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
동그라미와 칸막이로 한 줄을 만들면 조합이 되고, 그 줄의 길이에서 식이 그대로 나온다.
아래 첨자를 n 과 r 중 어디에 더하는지가 매번 헷갈리는 자리다. 식을 외우려 하지 말고 줄을 그린다. 동그라미가 r 개, 칸막이가 n-1 개이므로 줄의 길이는 n+r-1 이고 그중 동그라미 자리 r 개를 고른다. 그래서 위가 n+r-1, 아래가 r 이다. 칸막이가 n 개가 아니라 n-1 개인 것만 조심하면 된다. 칸이 n 개 생기려면 막대는 하나 적다. 어느 셈법인지 고르는 것도 같은 물음 둘로 정해진다. 순서를 따지는가, 중복을 허락하는가. 둘 다 아니오면 조합, 중복만 예면 중복조합이다.
이런 실수를 조심하세요
- 칸막이를 n 개로 세는 경우. 칸이 n 개 생기려면 막대는 n-1 개다
- 순서를 따지는 문제에 중복조합을 쓰는 경우. 자리마다 다시 고르는 것이면 중복순열 nʳ 이다
- r 이 n 보다 크면 안 된다고 보는 경우. 중복을 허락하므로 뽑는 개수가 종류 수보다 많아도 된다
- 「적어도 하나씩」 조건을 그대로 두고 세는 경우. 먼저 한 개씩 나눠 준 뒤 남은 것으로 센다
예제
문제. 세 종류의 사탕에서 중복을 허락해 5개를 고르는 방법의 수를 구하시오. (같은 종류의 사탕끼리는 구별하지 않는다)
답. 21
종류가 3가지이고 5개를 고르므로 ₃H₅ 다. 공식에 넣으면 ₃H₅ = ₃₊₅₋₁C₅ = ₇C₅ 이고, ₇C₅ = ₇C₂ = (7 × 6) ÷ (2 × 1) = 21 이다. 따라서 21가지다.