확률과통계

확률변수의 일차변환

E (a X + b) = a E (X) + b, V (a X + b) = a^{2} V (X), σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)

확률변수에 상수를 곱하고 더하면 분포가 어떻게 달라지는가. 평균은 곱하고 더한 그대로 따라가지만 흩어짐은 다르다. 통째로 옮기는 것은 흩어짐을 바꾸지 않고, 늘리는 것만 흩어짐을 바꾼다. 정규분포의 표준화가 이 성질 하나로 돌아간다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

같은 자로 잰 두 수직선. 통째로 옮기면 간격이 그대로이고, 늘리면 간격까지 늘어난다.

E (a X + b) = \sum (a x_{i} + b) p_{i} = a \sum x_{i} p_{i} + b \sum p_{i} = a E (X) + b

평균의 정의에 넣고 시그마를 가른다. 앞 덩어리가 aE(X) 이고, 뒤는 확률을 전부 더한 것이라 Σpᵢ = 1 이므로 b 가 그대로 남는다. 평균은 일차식을 그대로 따라간다.

1 / 2 단계· 💎 2단계 더

외우지 않아도 된다

평균을 빼면 b 가 지워진다는 한 줄이 셋을 모두 설명한다.

수직선 위의 점 몇 개를 떠올린다. 통째로 밀면 서로의 간격은 그대로이고, a 배로 늘리면 간격도 a 배가 된다. 그래서 분산에는 a² 이 붙고 b 는 흔적도 없다. 표준화 Z = (X − m)/σ 가 이 성질을 두 번 쓴 것이다.