확률과통계
같은 것이 있는 순열
같은 글자가 섞인 낱말을 나열하는 문제다. 같은 것끼리 자리를 바꿔도 겉보기가 달라지지 않으므로, 전부 다르다고 보고 센 뒤 겹쳐 센 만큼 나눈다. 원순열과 같은 발상이고 나누는 수만 다르다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 같은 것끼리의 자리바꿈이 몇 번 겹치는지 센다
- 종류마다 계승을 곱해 나눈다
- 나열 문제인지 뽑기 문제인지 먼저 가른다
한 단계씩 유도해 보기
같은 것에도 몰래 번호를 붙여 전부 다르다고 보고 센다. 그러면 그냥 줄 세우기라 n! 가지다.
1 / 3 단계
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
전부 다르다고 세고 겹쳐 센 만큼 나눈다. 원순열과 같은 발상이다.
같은 글자에 번호를 붙였다가 떼는 그림을 떠올린다. L 두 개에 번호를 붙이면 2 가지가 따로 세어지므로 2! 로 나눈다. 검산은 작은 낱말로 한다. AAB 는 3!/2! = 3 이고 실제로 AAB, ABA, BAA 세 가지다.
이런 실수를 조심하세요
- 같은 것의 개수를 더해서 나누는 경우. 종류마다의 계승을 곱해서 나눈다
- 같은 것의 개수 합이 전체 n 과 맞는지 확인하지 않는 경우
- 순서를 따지지 않는 문제에 쓰는 경우. 나열이 아니라 뽑기라면 조합이다
예제
문제. LEVEL 의 다섯 글자를 일렬로 나열하는 방법의 수를 구하시오.
답. 30가지
L 이 두 개, E 가 두 개이므로 5!/(2!·2!) = 120/4 = 30 이다. 전부 다르다고 보면 120 가지인데 L 끼리 2 가지, E 끼리 2 가지가 겹쳐 네 번씩 같은 것을 센 셈이다.