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구의 방정식

구는 한 점에서 같은 거리에 있는 점을 모두 모은 것이다. 원과 뜻이 한 글자도 다르지 않고 거리를 재는 식에 항이 하나 늘 뿐이다. 차원이 하나 올라가도 구조가 그대로라는 것이 좌표라는 도구의 힘이다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

  • 구의 뜻을 그대로 거리 식으로 옮긴다
  • 양변을 제곱해 근호를 없앤다
  • 일반형에서 완전제곱으로 중심과 반지름을 읽는다

한 단계씩 유도해 보기

C P r x−a y−b z−c r (x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²
왼쪽이 구의 뜻이고 오른쪽이 그 뜻을 재는 자다. 중심에서 점까지 가는 길을 세 축 방향으로 갈라 놓으면 세 차이를 변으로 하는 직육면체가 되고, 그 몸 대각선이 반지름이다. 주황색 두 변을 보라. 바닥에서 한 번 피타고라스 정리를 써서 빗변을 얻고, 그 빗변과 높이로 한 번 더 쓰면 세 제곱의 합이 나온다.

구의 뜻이 그대로 식이다. 중심 C 에서 거리가 r 인 점 P 를 모두 모은 것이 구다. 원과 같은 문장이고 점이 공간에 있다는 것만 다르다.

1 / 2 단계· 💎 3단계 더

외울까, 되살릴까

외우지 않아도 된다

중심에서 거리가 r 이라는 문장을 거리 식에 넣고 제곱하면 끝이다.

평면의 원과 똑같이 생각한다. 중심에서 점까지의 거리를 좌표로 쓰면 세 차이의 제곱의 합에 근호를 씌운 것이고, 그것이 r 이라는 식의 양변을 제곱한다. 일반형이 주어지면 문자마다 완전제곱을 만들어 표준형으로 고친 뒤 읽는다.

🧠 공식 전체를 외울 것과 되살릴 것으로 가른 표 →

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