공간좌표

개요

평면에 축을 둘 그어 점을 두 수로 나타냈다면, 공간에서는 축을 하나 더 긋는다. 그러면 점이 $(x, y, z)$ 세 수로 정해지고, 공간도형 문제를 그림 대신 계산으로 다룰 수 있다.

놀라운 것은 평면에서 쓰던 식이 거의 그대로 확장된다는 점이다. 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리를 두 번 쓴 결과라 제곱항이 하나 늘어날 뿐이고, 내분점 공식은 좌표마다 똑같이 적용되며, 원의 방정식은 그대로 구의 방정식이 된다. 차원이 하나 늘어도 구조가 바뀌지 않는다는 것, 이것이 좌표라는 도구의 힘이다.

GPS가 위성 세 곳까지의 거리로 내 위치를 찾는 것도 바로 이 공간좌표 위에서 이루어진다.

핵심 사실

• 좌표평면에 대한 대칭: $xy$평면에 대칭이면 $z$ 의 부호만, $yz$평면이면 $x$ 의 부호만, $zx$평면이면 $y$ 의 부호만 바뀐다. 원점 대칭이면 셋 다 바뀐다.
• 각 축에 대한 대칭: 그 축의 좌표만 그대로 두고 나머지 둘의 부호가 바뀐다.
• 두 점 사이의 거리: $\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)$, $\mathrm{B}(x_2,y_2,z_2)$ 에 대해

$$\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$

• 밑면에서 한 번, 높이 방향으로 한 번 피타고라스 정리를 쓴 결과이며, 평면 공식에 $z$ 항이 하나 더 붙은 꼴이다.
• 내분점: 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $m:n$ 으로 내분하는 점은 좌표마다 평면과 같은 공식을 쓴다. (외분점은 2022 개정 교육과정에서 빠졌다.)

$$\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \frac{ny_1+my_2}{m+n},\ \frac{nz_1+mz_2}{m+n}\right)$$

• 중점은 세 좌표를 각각 평균 낸 점이고, 삼각형의 무게중심은 세 꼭짓점의 좌표를 각각 평균 낸 점이다.
• 구의 방정식: 중심 $(a,b,c)$, 반지름 $r$ 인 구는 “중심에서 거리가 일정한 점의 모임”이므로

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$$

• 일반형에서 중심 찾기: $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ 은 각 문자마다 완전제곱을 만들어 표준형으로 고친다. 원의 방정식에서 하던 것과 같다.
• 구와 좌표평면의 교선은 원이다. 예를 들어 $xy$평면과의 교선은 $z = 0$ 을 대입해 얻으며, 반지름은 $\sqrt{r^2 - c^2}$ 다($|c| < r$ 일 때).
• 공간에서의 벡터도 성분이 하나 늘 뿐이다. 다음 소단원 공간벡터에서 자세히 다룬다.