고1 문자와식
세제곱의 합과 차
세제곱의 합은 합차 공식처럼 중간 항이 지워지는 구조를 쓴다. (a+b) 에 알맞은 이차식을 곱하면 가운데 항들이 모두 상쇄되고 a³ 과 b³ 만 남는다. 가운데 항이 지워지는 구조로 삼차식을 인수분해하는 대표 공식이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 오른쪽을 전개해 중간 항이 상쇄되는 것을 확인한다
- 이차식 쪽 가운데 항의 부호를 합과 차에 맞게 바르게 쓴다
- a³ − b³ 의 부호 대응을 a³ + b³ 에서 끌어낸다
한 단계씩 유도해 보기
확인할 식의 오른쪽에서 출발해 전개한다.
1 / 4 단계
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
오른쪽을 한 번 전개하면 중간 항이 지워지는 것이 바로 보인다. 외우려 들면 가운데 부호를 틀린다.
부호가 헷갈리면 오른쪽을 직접 펼쳐 본다. (a+b)(a²−ab+b²) 에서 a²b 와 ab² 가 각각 부호 반대로 두 번 나와 지워지고 a³ 과 b³ 만 남는다. 10초 확인법도 있다. 괄호 안 가운데 항의 부호는 앞 괄호의 부호와 반대다. 합에는 −ab, 차에는 +ab 다. 이 두 자리를 섞어 쓰는 것이 거의 유일한 실수다. 합과 곱만 주어진 문제라면 곱셈 공식의 변형 편 쪽이 빠르다.
이런 실수를 조심하세요
- a³ + b³ 을 (a+b)(a² + ab + b²) 로 쓰는 경우. 가운데 항은 −ab 다
- a³ + b³ 을 (a+b)³ 으로 쓰는 경우. 세제곱의 합과 합의 세제곱은 다르다
- a³ − b³ 의 괄호 안 가운데 항을 −ab 로 쓰는 경우. 차에서는 +ab 다
예제
문제. x³ − 8 을 인수분해하시오.
답. (x − 2)(x² + 2x + 4)
8 = 2³ 이므로 a = x, b = 2 인 세제곱의 차다. 따라서 (x−2)(x² + 2x + 4) 이다.