넓이 타일

계수는 외우는 것이 아니라 세는 것이다

가로와 세로를 나눠 칸마다 넓이를 적는 그림 하나로 곱셈공식 다섯 편을 본다. (a+b)² 는 네 칸으로 갈라지고, (a−b)² 는 가로 띠와 세로 띠를 뗄 때 모서리가 두 번 떼이는 것이 보여 b² 를 다시 더하는 까닭이 드러난다. a²−b² 는 떼고 남은 조각을 옮겨 붙이면 (a+b)(a−b) 직사각형이 된다. (x+a)(x+b) 에서는 가운데 두 칸을 합치면 (a+b)x 가 되고, 항이 셋이면 격자가 3×3 으로 늘 뿐이다. 세제곱은 (a+b)² 판을 높이 a 와 높이 b 로 두 장 쌓아 계수 3 을 직접 센다. 두 변이 Δ 만큼 동시에 늘어나는 모드에서는 늘어난 넓이가 gΔ + fΔ + Δ² 로 갈리고, Δ² 칸만 둘째로 작아 먼저 사라지는 것이 몫의 백분율로 함께 찍힌다. 남는 두 칸이 곧 곱의 미분법이다.