좌표 위의 거리

공간 모드에서는 원점에 있는 A 와 B 를 세 슬라이더로 움직인다. 바닥에 내린 점 H 까지의 거리가 평면 모드에서 보던 그 빗변이고, 그것을 밑변으로 삼아 높이 z 를 세우면 다시 직각삼각형이 된다. 아래 두 줄이 그 두 번을 나눠 찍어 준다. 내분·외분 모드는 같은 판에서 선분을 비로 가른다.

A 와 B 를 끌고 m 과 n 을 밀면 점이 선분 위를 미끄러지고, 세 점에서 x 축에 내린 수선도 같은 비로 갈리는 것이 함께 그려진다. 그래서 먼 쪽 좌표에 m 이 붙는 까닭이 그림에서 읽힌다. 내분과 외분은 다른 공식이 아니다. 토글을 외분으로 옮기면 같은 점이 선분 밖 연장선으로 나갈 뿐이고, 식에서는 n 이 −n 으로 바뀐 것뿐이다.

외분점이 판 밖으로 나가면 화살표가 방향을 가리키고 좌표는 값 줄에 그대로 찍힌다. m 과 n 을 같게 두면 외분점이 아예 없다는 것도 같은 자리에서 만난다. 무게중심 모드는 세 꼭짓점을 끌어 삼각형을 만들고 중선 셋을 긋는다. 교점 G 는 두 중선을 실제로 교차시켜 구한 점인데, 값 줄에서 그 좌표가 세 꼭짓점 좌표의 평균과 늘 같게 찍힌다.

G 가 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 2 대 1 로 가르는 것도 같은 줄에서 읽힌다. 구 모드는 중심 (3, 3, 3) 에서 거리 r 인 점의 모임을 그리고 수평면으로 자른다. 단면은 원이고, 중심에서 단면까지 내린 수선과 단면의 반지름이 직각삼각형을 이뤄 빗변이 r 이 된다.

자르는 높이를 밀면 단면이 적도에서 가장 크고 위아래 끝에서 한 점으로 줄어드는 것이 보이고, 단면 위의 점 B 를 어디로 돌려도 중심까지의 거리가 r 에서 안 움직인다. 직육면체 모드는 좌표축 없이 가로 · 세로 · 높이 세 슬라이더로 상자를 세운다. 밑면의 대각선과 높이가 직각삼각형을 이루고 그 빗변이 상자의 대각선인 것을 공간 모드와 같은 색으로 칠한다.

공간의 내분점 모드는 선분 AB 를 m : n 으로 나누는 점 P 를 찍고 세 점을 바닥에 비춘 그림자를 함께 그린다. 그림자에서 잰 비가 m : n 과 같아서, 세 좌표를 따로 평면의 공식으로 구하면 된다는 것이 그림으로 보인다.