경우의 수 나뭇가지
가지를 세면 곱셈이 보인다
가짓수를 밀면 수형도가 실제로 갈라진다. 곱의 법칙에서는 1단계의 갈래마다 2단계가 통째로 붙는 모습이 보이고, 합의 법칙으로 바꾸면 겹치지 않는 두 무리가 나란히 놓여 왜 이때는 더하는지가 갈린다. 순열로 바꾸면 한 번 쓴 것이 빠지면서 층마다 가지가 하나씩 줄어든다.
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끝 가지의 이름을 누르면 순서만 다른 같은 뽑기가 함께 켜져, 조합에서 r! 로 나누는 이유가 그 자리에서 드러난다. 되풀이 쪽은 단계마다 두 갈래가 되풀이되어 끝 가지가 2ⁿ 이 되는데, 이것을 넣는다·뺀다로 읽으면 부분집합의 개수이고 a 냐 b 냐로 읽으면 (a+b)ⁿ 의 전개다. 여기서도 끝 가지를 누르면 b 의 개수가 같은 길이 함께 켜지고 그 개수가 곧 nCk 다.
1단계 3가지 각각에 2단계 4가지가 이어집니다. 끝 가지는 3 곱하기 4 은 12개이고, 이것이 곱의 법칙입니다.
💡 층마다 갈래가 몇 개인지만 보면 공식이 나온다. 순열은 한 번 쓴 것이 빠져 층마다 하나씩 줄고(nPr), 되풀이는 줄지 않아 같은 수를 계속 곱한다(nʳ). 갈래가 둘인 되풀이에서 끝 가지를 묶어 세면 그것이 nCk 이고, 그 묶음을 첫 갈래로 다시 가르면 파스칼의 법칙이 나온다. 세 공식이 한 나무의 다른 읽기다.
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