도함수 탐정

f′ 이 0 을 지나는 순간 f 가 방향을 바꾼다

합성함수 sin 2x 를 바로 위의 sin x 와 나란히 두면 안을 2x 로 바꾼 값이 f′ 의 진폭을 1 에서 2 로 키우는 것이 보인다. 그 2 가 속미분이다. 한 화면에 f 와 f′ 과 f″ 의 그래프를 세로 3단으로 쌓고 가로축 눈금을 완전히 맞췄다. x 를 드래그하면 세 그래프의 대응점과 접선 기울기, 그리고 아래의 증감표가 실시간으로 채워진다. f′ 판과 f″ 판은 곡선과 0 선 사이를 부호 색으로 칠해 두어, 칠해진 색이 그대로 증감표의 플러스·마이너스 칸이 된다. 삼차 x³ − 3x 로 극대·극소와 변곡점을, 사차 x⁴ − 2x² 로 극소가 둘인 개형을, x³ 으로 f′(0) = 0 인데 극값이 아닌 반례를 확인한다. eˣ 는 세 판이 똑같이 겹쳐 자기 자신이 도함수인 것이 그림으로 드러나고, ln x 와 sin x 도 도함수가 무엇이 되는지 같은 자리에서 본다. 운동 편으로 바꾸면 세 판의 이름이 위치·속도·가속도가 된다.