다항함수의 도함수
h = 0.01 판 셋 0.120000 막대 셋 0.000600 모서리 0.000001 늘어난 부피 0.120601 늘어난 부피 ÷ h 0.120601 ÷ 0.01 = 12.0601 세 판의 넓이 12.0000
부피는 상자의 모서리 좌표를 곱해 재고, 늘어난 부피는 큰 상자에서 처음 상자를 뺀다(조각을 더하지 않는다. 조각의 합과의 차 0.000000). h 로 나누면 판은 넓이만 남고 막대 · 모서리는 h 와 함께 사라진다. 비교: (x³)′ = 3x² = 3 × 2² = 12, 처음 정육면체 겉넓이 24 의 절반
한 변 x 인 정육면체에 두께 h 의 껍질을 씌우면 늘어난 부피는 판 셋(x × x × h), 막대 셋(x × h × h), 모서리 하나(h × h × h)다. 이것을 h 로 나누면 판은 넓이 x² 셋으로 남고, 막대와 모서리는 h 가 줄 때 함께 사라진다. 그래서 x³ 이 변하는 빠르기는 세 판의 넓이 3x², 정육면체 겉넓이의 절반이다. (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ 에서 n = 3 인 경우다.
도함수는 그래프의 순간 기울기를 함수로 나타낸 것이다. 다항함수라면 지수를 앞으로 내리고 지수를 하나 줄이는 규칙 하나로 끝난다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- xⁿ 의 도함수 규칙을 정확히 적용한다
- 상수항의 미분이 0 인 이유를 설명한다
- 도함수로 접선의 기울기를 구한다
한 단계씩 유도해 보기
도함수의 정의에 f(x) = xⁿ 을 대입한다.
1 / 4 단계
외울까, 되살릴까
외우는 편이 싸다
지수를 앞으로 내리고 하나 줄인다. 쓰는 빈도가 높아 손에 붙여 두는 편이 낫다.
지수를 앞으로 내리고 지수를 하나 줄인다. 이 두 동작이 전부다. 검산은 x² 로 한다. 2x 가 나와야 하고, x = 1 에서 값이 2 인 것은 그 자리 접선의 기울기와 같다. 상수는 지수가 0 이라 미분하면 사라진다.
이런 실수를 조심하세요
- 지수를 계수로 내린 뒤 지수를 1 줄이는 것을 빠뜨리는 경우
- 상수항의 미분을 0이 아니라 그대로 두는 경우
예제
문제. f(x) = 2x³ − 5x + 7 의 도함수를 구하시오.
답. f'(x) = 6x² − 5
항마다 따로 미분한다. 2x³ 은 지수 3 을 앞으로 내려 6x² 이 되고, −5x 는 −5 가 되고, 상수 7 은 0 이 된다. 따라서 f′(x) = 6x² − 5 다.
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