적분 놀이터

쪼갤수록 F(b) − F(a) 에 붙는다

곡선 아래를 직사각형으로 쪼개 더한 값과 F(b) − F(a) 를 나란히 놓고, 그 차이가 n 을 늘릴수록 어떻게 줄어드는지 함께 보여 준다. x축 아래로 내려간 막대는 색이 달라지며 음수로 세어져 정적분과 넓이가 갈린다. 부정적분 쪽으로 바꾸면 미분해서 같은 함수가 되는 곡선 다섯 개가 겹쳐 나타나고, 한 자리에서 기울기가 모두 같다는 것이 접선으로 보인다. 두 곡선 모드는 막대의 높이를 위 곡선 빼기 아래 곡선으로 세운다. 두 정적분의 차가 아니라 차를 적분한 하나의 정적분이라는 것이 요점이라, 막대 자체를 f − g 높이로 그려 그 하나의 리만합이 붙는 모습을 보인다. 위아래가 뒤바뀌는 구간을 고르면 막대가 음수 높이로 세어지고 위젯이 그 사실을 알려 준다. 곡선의 길이 모드에서는 막대 대신 곡선 위의 점들을 꺾은선으로 잇고 조각마다 빗변을 재어 더한다. 두 점 사이는 곧은 선이 가장 짧아서 꺾은선은 곡선보다 늘 짧고, 조각을 늘리면 그 틈이 0 으로 간다. 쌓인 넓이 모드에서는 아래끝을 잠그고 위끝 x 를 민다. 쌓인 넓이 S(x) 를 점선 그래프로 함께 그리고, 위끝에서 폭 Δ 인 띠를 하나 더 세워 그 넓이를 폭으로 나누면 그 자리의 높이 f(x) 가 나온다는 것을 보인다. 대칭 구간 모드는 구간을 −h 에서 h 로 잠그고 좌우 조각을 짝지어 같은 색으로 칠한다. 우함수면 짝이 같은 값으로 더해지고, 기함수면 짝끼리 지워져 정적분이 0 이 된다. 속도 모드는 가로축을 시간으로 읽는다. 막대의 합이 위치의 변화량이고, 절댓값을 씌우면 축 아래 막대가 접혀 올라가 움직인 거리로 바뀐다. 곡선은 여덟 가지다. 다항식 넷에 eˣ · 1/x · sin x · cos x 를 더해 지수·로그와 삼각함수의 적분도 같은 값 줄로 읽는다. 1/x 는 x = 0 에서 끊기므로 오른쪽 가지만 보고, 왼쪽 가지에서도 같은 넓이가 나온다는 것은 값 줄이 문장으로 알려 준다.