대응 사슬 판
마지막에 한 것부터 푼다
세 칸 X · Y · Z 를 세로 수직선으로 나란히 세우고, 원소 하나가 화살표를 타고 칸을 건넌다. 보내기에서는 x 가 f 를 타고 Y 로, g 를 타고 Z 로 간다. 되돌리기에서는 z 에서 g⁻¹ 이 먼저, f⁻¹ 이 나중에 걸어 x 로 돌아오고, 그 값을 분수로도 적는다.
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순서를 바꾸면 f⁻¹ 을 먼저 해서 얻은 자리 w 에서 다시 g ∘ f 로 보내 보는데, 대개 z 가 아닌 다른 자리에 닿는다. 돌아오는지는 z 가 아니라 f 와 g 로만 정해져서, 둘 다 평행이동처럼 순서가 무관한 짝을 고르면 판이 그렇다고 알려 준다.
z 가 5 입니다. g⁻¹ 을 먼저 하면 8, 이어서 f⁻¹ 을 하면 x 는 7/2 입니다.
💡 x 를 f 로 보내고 이어서 g 로 보냈으면, 되돌아올 때는 g 부터 풀어야 한다. 양말을 신고 신발을 신었으면 신발부터 벗는 것과 같다. 그래서 (g ∘ f)⁻¹ 은 f⁻¹ ∘ g⁻¹ 이다. 순서를 바꿔 f⁻¹ 을 먼저 하면 Z 의 수를 Y 의 수인 것처럼 푼 셈이라, 거기서 다시 보내도 대개 처음 자리로 돌아오지 않는다. 둘 다 평행이동이면 순서가 무관해 예외다.
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