📝 수능 전 공식 훑기

되살리는 길 a^(1/n) 을 n 번 곱하면 지수가 1 이 되어 a 로 돌아온다는 데서 시작한다. n 제곱해서 a 가 되는 수는 n 제곱근이므로 a^(1/n) 은 ⁿ√a 다. 분자 m 은 그 위에 m 제곱을 얹는 것뿐이다. 분모가 근호의 차수이고 분자가 거듭제곱의 지수라고 붙잡는다. 헷갈리면 8^(2/3) 으로 확인한다. 세제곱근 8 은 2 이고 그것을 제곱하면 4 인데, 뒤바꿔 읽어 √(8³) 으로 계산하면 √512 라 전혀 다른 값이 나온다. 밑이 음수이면 지수법칙 자체가 어긋나는 경우가 생기므로 a > 0 에서만 쓴다.

되살리는 길 n 제곱근을 n 분의 1 승으로 갈아입힌다. 그러면 곱은 밑끼리 곱하는 법칙으로, 거듭제곱은 지수끼리 곱하는 법칙으로 바로 끝난다. 계산이 끝나면 다시 근호로 되돌린다. 근호가 겹쳐 있으면 지표를 곱하면 된다.

되살리는 길 x = aᵐ, y = aⁿ 으로 적고 곱하거나 나눠 보면 된다. 밑이 같으니 지수가 더해지거나 빠지고, 그것을 다시 로그로 읽으면 곱은 합, 나눗셈은 차가 된다. 로그 성질 세 줄은 지수법칙 세 줄의 다른 얼굴이다. 밑이 다른 로그가 섞여 있으면 밑변환으로 한 밑에 모은다. 밑변환에서 새 밑을 진수로 잡으면 분자가 1 이 되어 logₐb 는 밑과 진수를 맞바꾼 로그의 역수가 된다. 밑과 진수가 뒤집히면 값도 뒤집힌다고 기억하면 된다.

되살리는 길 합을 한 번 더 거꾸로 써서 세로로 더한다. 모든 짝의 합이 (첫항 + 끝항) 으로 같고 그런 짝이 n 개다. 그래서 n(첫항 + 끝항) 이 되고, 마지막에 2 로 나누는 이유는 같은 합을 두 번 썼기 때문이다. 이 한 문장이 공식보다 짧다.

되살리는 길 S 와 rS 를 위아래로 놓고 뺀다. 항이 한 칸씩 밀려 있어 가운데가 모두 지워지고 양 끝만 남는다. 분모에 r - 1 이 오는 이유가 이 뺄셈이고, r = 1 을 따로 떼어 두는 이유도 여기서 보인다. 0 으로 나눌 수 없기 때문이다.

되살리는 길 첫 항에서 n 번째 항까지는 n − 1 걸음이고 걸음마다 d 를 더한다. n − 1 이 불안하면 n = 1 을 넣어 본다. 걸음이 0 번이라 첫 항이 그대로 나와야 한다.

되살리는 길 첫 항에서 n 번째 항까지는 n − 1 걸음이고 걸음마다 r 을 곱한다. 지수가 불안하면 n = 1 을 넣어 본다. r 의 0 제곱이 1 이라 첫 항이 그대로 나와야 한다. 등차의 일반항과 나란히 놓으면 더한 횟수와 곱한 횟수가 같은 자리에 있는 것이 보인다.

되살리는 길 이웃한 차가 같으니 b - a = c - b 다. 이 한 줄에서 b 를 왼쪽으로 모으면 2b = a + c 가 된다. 공차 d 는 양쪽에서 같은 값이라 저절로 사라지고, 그래서 d 를 몰라도 가운데 항을 쓸 수 있다.

되살리는 길 이웃한 비가 같으니 b/a = c/b 다. 비례식이므로 안쪽끼리 바깥쪽끼리 곱하면 b² = ac 가 된다. 공비 r 은 양쪽에서 같은 값이라 저절로 사라진다. 등차는 더해서 2 로 나누고 등비는 곱해서 제곱근을 씌운다고 짝지어 두면 헷갈리지 않는다.

붙잡을 자리 k 의 합은 가우스 짝짓기로 되살아난다. 외울 것은 k² 의 합 하나다. n(n+1)(2n+1)/6 에서 분모 6 과 마지막 자리 2n+1 만 붙잡으면 된다. 검산은 n = 1 을 넣는다. 1·2·3/6 = 1 이고 실제 합도 1 이라 맞는다. n = 2 로 한 번 더 하면 5 가 나와야 한다. k³ 의 합은 따로 외우지 않아도 된다. k 의 합을 제곱한 것이라 {n(n+1)/2}² 이다.

되살리는 길 Sₙ 과 Sₙ₋₁ 을 위아래로 나란히 적고 빼 본다. 앞쪽이 통째로 지워지고 aₙ 만 남는다. 다 구한 뒤에는 반드시 n = 1 을 넣어 S₁ 과 맞는지 확인한다. 다르면 a₁ 을 따로 적어야 답이 된다.

되살리는 길 일반항을 1/k 에서 1/(k+1) 을 뺀 꼴로 쪼개고 k = 1, 2, 3 만 적어 본다. 1/2 끼리, 1/3 끼리 부호가 반대로 겹쳐 사라지는 것이 세 줄이면 보인다. 그러면 남는 것은 맨 앞의 1 과 맨 뒤의 1/(n+1) 뿐이고, 통분하면 n/(n+1) 이다.

되살리는 길 n = 2 로 펼쳐 확인한다. (a₁ + b₁) + (a₂ + b₂) 는 두 합으로 갈리지만 a₁b₁ + a₂b₂ 는 (a₁ + a₂)(b₁ + b₂) 와 다르다. 상수의 합은 항의 개수를 세는 일이라 cn 이다.

되살리는 길 θ = 호의 길이 ÷ 반지름이라는 정의를 먼저 적는다. 양변에 r 을 곱하면 호의 길이가 rθ 다. 넓이는 원 전체 πr² 에 각의 비율 θ/2π 를 곱해 ½r²θ 다. 계수 ½ 이 헷갈리면 한 바퀴를 넣어 본다. θ = 2π 면 ½ × r² × 2π = πr² 으로 원 전체 넓이가 나오고, 호의 길이도 r × 2π = 2πr 로 둘레가 나온다. 각이 도로 주어졌으면 π/180 을 곱해 라디안으로 바꾼 다음에 넣는다.

되살리는 길 두 가지만 묻는다. π 를 낀 각이면 이름은 그대로이고 부호만 본다. π/2 를 낀 각이면 이름이 sin ↔ cos 으로 바뀐다. 부호는 옮긴 각이 놓인 사분면에서 읽는다.

되살리는 길 b = 2 를 넣어 본다. 각이 두 배로 빨리 도니 한 바퀴가 절반 만에 끝나 주기가 π 여야 한다. 곱셈으로 적었다면 4π 가 나와 말이 안 된다. d 의 효과는 a = 2, d = 1 을 넣어 확인한다. 가운데 선이 1 이고 위아래로 2 씩 오르내리니 최댓값 3, 최솟값 −1 이 나와야 한다. tan 은 따로 본다. 주기가 π/|b| 이고 진폭이라 부를 것이 없다.

되살리는 길 단위원 하나만 그리면 된다. 원 위의 점은 x² + y² = 1 을 만족하고, 각 θ 자리의 점 좌표가 (cos θ, sin θ) 다. 대입하면 그대로 기본 관계식이다. tan 이 섞인 관계식은 이 식의 양변을 cos²θ 로 나눠서 만든다. 따로 외울 것이 아니다.

되살리는 길 삼각형에 높이 하나를 내리고 그 길이를 왼쪽 삼각형과 오른쪽 삼각형에서 각각 적는다. b sin A 와 a sin B 가 같다는 데서 a/sin A = b/sin B 가 나온다. 자리가 헷갈리면 변과 그 대각이 늘 짝이라는 것만 지킨다. a 의 짝은 언제나 A 다. 공통값이 2R 인 것은 외접원의 지름을 그어 직각삼각형을 만드는 한 걸음에서 나온다.

붙잡을 자리 피타고라스 a² = b² + c² 를 먼저 쓰고 뒤에 −2bc cos A 를 붙인다. 붙는 두 변 b, c 는 각 A 를 끼고 있는 두 변이고 a 는 A 의 대변이다. 부호가 헷갈리면 A = 90° 를 넣는다. cos A 가 0 이 되어 피타고라스로 돌아오면 맞게 쓴 것이고, A 가 예각이면 a 가 더 짧아져야 하므로 보정항은 빠지는 쪽이다.

붙잡을 자리 s 를 먼저 쓴다. 둘레의 절반이다. 그다음 s 에서 세 변을 하나씩 뺀 것을 차례로 곱하고 근호를 씌운다. 인수가 넷이고 s 로 시작해 s − a, s − b, s − c 로 이어지는 모양이라 빠뜨릴 자리가 없다. 검산은 세 변이 3, 4, 5 인 직각삼각형으로 한다. s = 6 이므로 √(6 × 3 × 2 × 1) = 6 이고, 밑변 3 과 높이 4 로 구한 넓이 6 과 맞는다.

되살리는 길 넓이의 사인 식을 적고 sin C = c/2R 을 넣으면 된다. 분모가 4R 인지 2R 인지 헷갈리면 직각삼각형 3, 4, 5 로 검산한다. 넓이 6 과 R = 2.5 에서 60 ÷ (4 × 2.5) = 6 이 맞다.

붙잡을 자리 지수를 앞으로 내리고 지수를 하나 줄인다. 이 두 동작이 전부다. 검산은 x² 로 한다. 2x 가 나와야 하고, x = 1 에서 값이 2 인 것은 그 자리 접선의 기울기와 같다. 상수는 지수가 0 이라 미분하면 사라진다.

붙잡을 자리 곡선에 두 점을 찍고 할선을 그린다. 기울기는 세로 차이 f(x+h) − f(x) 를 가로 차이 h 로 나눈 것이고, 뒤 점을 앞 점으로 밀면 할선이 접선이 된다. 그 순간을 lim 기호로 적은 것이 정의다. 분모가 h 라는 것만 붙잡으면 분자는 그림에서 읽힌다.

붙잡을 자리 앞을 미분하고 뒤는 그대로, 앞은 그대로 두고 뒤를 미분한 다음 더한다고 붙잡는다. 두 항이 나오는 것이 핵심이고 한 항만 쓰는 것이 가장 흔한 실수다. 검산은 f = g = x 로 한다. (x·x)′ = (x²)′ = 2x 인데 외운 식으로도 1·x + x·1 = 2x 가 나온다. f′g′ 이라면 1 이 되어 어긋난다.

되살리는 길 두 끝을 잇는 할선을 긋고 곡선을 그 할선만큼 내린다. 그러면 양 끝의 높이가 같아져 가운데 어딘가에 수평인 접선이 생긴다. 다시 올리면 그 접선이 원래 할선과 나란하다.

되살리는 길 직선 하나를 정하는 데는 기울기와 지나는 점이면 충분하다. 접선은 기울기가 f′(a), 지나는 점이 (a, f(a)) 이므로 점-기울기 꼴에 그대로 넣는다. 새 공식이 아니라 중2 에서 기울기와 한 점으로 직선을 구하던 그 방식이다. 법선은 같은 점에서 기울기만 음의 역수로 바꾼다.

되살리는 길 단위로 되살린다. 위치는 m, 속도는 m/s, 가속도는 m/s² 다. 한 단계 내려갈 때마다 초로 한 번씩 더 나눈다. 시간으로 나누는 일이 곧 시간으로 미분하는 일이므로 순서를 잊을 수 없다. 방향을 물으면 속도의 부호를 보고, 빠르기를 물으면 절댓값을 본다. 되돌아오는 순간을 찾으라는 문제는 v(t) = 0 을 풀라는 말이다.

되살리는 길 미분은 지수를 내려 앞에 곱하고 지수를 하나 줄인다. 적분은 그 반대로 지수를 하나 올리고 그 수로 나눈다. 검산은 미분으로 한다. 구한 답을 미분해서 처음 식이 나오면 맞다. 이 검산이 되므로 적분은 틀려도 스스로 잡을 수 있다. n = −1 이면 지수를 올렸을 때 0 이 되어 0 으로 나누게 되므로 이 공식이 무너진다. 그 자리는 로그가 맡는다.

되살리는 길 오른쪽 끝만 움직이는 넓이 함수 S(x) 를 떠올린다. 끝을 조금 밀면 얇은 띠가 붙고 그 넓이가 f(x)h 이므로, 기울기가 f(x) 다. 그러면 S 는 f 의 부정적분이고 F 와 상수만 다르다. 출발점 넓이가 0 이라 상수가 정해진다. 부호가 헷갈리면 F(b) 에서 F(a) 를 뺀다고 붙잡는다. 나중 값에서 처음 값을 빼는 것이라 이동 거리와 같은 꼴이다.

되살리는 길 위끝을 조금 밀어 본다. 늘어난 넓이는 폭이 아주 작은 띠 하나이고 그 넓이는 높이 곱하기 폭이다. 폭으로 나누면 높이만 남는다. 아래끝이 상수라야 이 이야기가 성립한다. 아래끝도 움직이면 그쪽에서 깎이는 몫이 따로 생긴다.

되살리는 길 그래프를 떠올린다. y축에 대해 접어서 포개지면 두 배, 원점에 대해 돌려서 포개지면 0 이다. 식으로 가리려면 x 자리에 마이너스 x 를 넣어 보고 그대로면 우함수, 전체 부호가 뒤집히면 기함수다.

되살리는 길 구간 나누기는 가운데 F(c) 가 지워지는 것으로 확인한다. 두 끝이 같으면 같은 값을 빼니 0, 두 끝을 바꾸면 빼는 순서가 바뀌니 부호가 바뀐다. |x − 1| 을 0 부터 2 까지 적분할 때 x = 1 에서 나누는 것이 이 성질을 쓰는 자리다.

되살리는 길 식보다 순서가 중요하다. 첫째로 교점을 구해 적분 구간을 정한다. 둘째로 그 구간에서 어느 쪽이 위인지를 정한다. 값을 하나 넣어 보면 바로 갈린다. 셋째로 위에서 아래를 빼서 적분한다. 넓이가 음수로 나왔다면 위아래를 거꾸로 잡은 것이다. 구간 안에서 위아래가 바뀌면 교점에서 구간을 나눠 따로 적분한 뒤 더한다. 절댓값을 그냥 씌워 한 번에 적분하려 들면 계산이 안 된다.

되살리는 길 속도 그래프를 그리고 x축 위아래의 넓이를 본다. 부호를 그대로 더하면 위치 변화이고 전부 양수로 더하면 움직인 거리다. 문제가 어느 쪽을 묻는지부터 읽는다.

되살리는 길 쓰기 전에 조건 둘을 확인한다. 두 곡선의 차가 이차식이어야 하고 구간이 정확히 두 교점 사이여야 한다. a 는 두 식을 뺀 뒤의 x² 계수다. 포물선끼리면 두 계수의 차가 된다.

되살리는 길 등비수열의 합 a(1 − rⁿ)/(1 − r) 을 적고 n 을 무한으로 보낸다. |r| < 1 이면 rⁿ 이 0 이 되어 a/(1 − r) 만 남는다. 분모를 1 − r 로 쓸지 r − 1 로 쓸지 헷갈리면 a = 1, r = 1/2 로 확인한다. 1 + 1/2 + 1/4 + … 는 2 인데 1/(1 − 1/2) = 2 로 맞는다. 조건을 빠뜨리면 발산하는 급수에 값을 매기게 된다.

되살리는 길 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ 을 적고 극한을 씌운다. 쓸 때는 방향을 조심한다. 이 명제는 발산을 판정할 때만 쓴다. 항이 0 으로 가는 것을 보고 수렴한다고 결론 내리면 틀린다. 조화급수 1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ 이 늘 반례다.

붙잡을 자리 e 는 미분해도 변하지 않게 만들려고 고른 수라고 붙잡는다. 그러면 (e^x)′ = e^x 는 그 약속을 다시 읽는 것과 같다. 밑이 e 가 아니면 앞에 ln a 가 붙는데, 검산은 a = e 로 한다. ln e 가 1 이라 원래 식으로 돌아오면 제대로 쓴 것이다. 거듭제곱 x^n 의 미분과 섞이기 쉬운데, 지수함수는 x 가 지수 자리에 있으므로 지수를 앞으로 내리는 규칙이 통하지 않는다.

되살리는 길 y = ln x 를 x = e^y 로 옮겨 적는다. 지수함수는 미분해도 그대로라 dx/dy = e^y 이고, 이것을 뒤집으면 dy/dx = 1/e^y 다. e^y 자리에 x 를 되돌려 넣으면 1/x 이다. 검산은 그래프로 한다. x 가 커질수록 ln x 는 점점 느리게 오르므로 기울기가 0 으로 줄어야 하는데 1/x 이 정확히 그렇다. 밑이 10 이면 분모에 ln 10 이 더 붙는다.

되살리는 길 ln(1+x) 를 x 로 나눈 식에서 x 분의 1 을 지수로 올리면 로그 안이 (1+x) 의 x 분의 1 승이 된다. x 가 0 으로 갈 때 그 안이 e 이므로 값은 ln e 이고 1 이다. 둘째 극한은 t = eˣ − 1 로 놓으면 x = ln(1+t) 이라 분수가 첫 극한의 역수 꼴이 되고, 1 의 역수는 1 이다.

되살리는 길 a^x = e^(x ln a) 를 먼저 적는다. 겉은 그대로, 속미분이 ln a 라 곱해진다. 로그는 역함수라 그 결과를 뒤집으면 분모로 간다. a = e 를 넣어 (e^x)′ = e^x 와 (ln x)′ = 1/x 로 돌아오는지 보면 검산된다.

붙잡을 자리 sin 은 부호가 그대로 +, cos 는 뒤집혀 −. 이 한 줄이 전부다. 확인은 β = 0 을 넣는다. sin(α + 0) 이 sin α × 1 + cos α × 0 = sin α 로 돌아오면 제대로 쓴 것이다. 부호까지 잊었다면 단위원에서 되살린다. 각 α 와 각 β 인 두 점 사이의 거리를 좌표로 한 번 재고, 같은 현을 β 만큼 되돌려 (1, 0) 에서 또 한 번 재어 맞놓으면 cos(α − β) 가 나온다. 나머지 셋은 대입뿐이다. 2배각도 β 자리에 α 를 넣으면 그 자리에서 나오므로 따로 외우지 않는다.

붙잡을 자리 sin → cos → −sin → −cos → sin 으로 도는 고리를 그린다. 미분은 이 방향으로 한 칸, 적분은 반대로 한 칸이다. 부호가 헷갈리면 x = 0 근처를 본다. sin x 는 0 에서 가파르게 오르므로 도함수가 1 이어야 하는데 cos 0 이 1 이라 맞고, cos x 는 0 에서 평평하므로 도함수가 0 이어야 하는데 −sin 0 이 0 이라 맞는다. 탄젠트와 코탄젠트는 외우지 말고 sin ÷ cos 과 cos ÷ sin 에 몫의 미분법을 쓴다. 각각 1/cos²x 와 −1/sin²x 가 나오는데, co 가 붙은 쪽에 음수 부호가 붙는다는 규칙이 코사인과 같다.

되살리는 길 반지름 1 인 부채꼴을 그리고 안쪽 삼각형과 바깥 삼각형을 함께 그린다. 세 넓이를 적으면 sin x 와 x 와 tan x 가 나란히 놓인다. 양쪽을 1 로 몰아가면 가운데가 끼여 1 이 된다. 라디안이라야 부채꼴 넓이가 x 의 절반이다.

되살리는 길 sin(α + α) 를 덧셈정리로 펼치면 같은 항이 둘이라 2 sinα cosα 다. 코사인은 cos² − sin² 에서 sin² + cos² = 1 로 세 꼴을 만든다. α = 30° 를 넣어 sin 60° 가 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2 로 맞는지 검산한다.

되살리는 길 dy/dx = dy/du × du/dx 를 적어 놓고 u = 속함수로 둔다. 겉을 미분하고 속을 미분해 곱한다는 말과 같다. 속미분을 빠뜨렸는지는 검산으로 잡힌다. y = (2x+1)² 를 전개해 미분한 값과 비교하면 2 가 빠졌는지 바로 보인다.

붙잡을 자리 분자는 아래를 그대로 두고 위를 미분한 것이 먼저다. f′g − fg′ 순서가 헷갈리면 g = 1 을 넣어 본다. f′ 만 남아야 하므로 앞에 오는 것이 f′g 다. 분모는 언제나 제곱이다.

되살리는 길 델타 y 나누기 델타 x 를 적고 위아래를 델타 t 로 나눈다. 값이 안 변하는데 모양이 두 도함수의 비가 된다. 분모가 dx/dt 라는 것만 기억하면 위아래를 뒤집을 일이 없다.

되살리는 길 역함수에 넣었다 되돌리면 제자리라는 식을 적고 미분한다. 연쇄법칙이 두 도함수의 곱을 만들고 오른쪽이 1 이니 서로 역수다. 점을 짝지어 읽는 것만 조심한다. 역함수 쪽은 b 에서, 원함수 쪽은 a 에서다.

되살리는 길 y 가 든 항은 겉을 미분한 뒤 dy/dx 를 곱한다고 적어 둔다. 원 x² + y² = r² 에서 −x/y 가 나오는지로 검산한다. 원의 접선은 반지름과 직각이라 반지름의 기울기 y/x 와 곱하면 −1 이어야 한다.

되살리는 길 x 와 y 를 각각 t 로 미분해 나란히 적는다. 그것이 속도다. 크기를 물으면 두 성분을 제곱해 더하고 근호를 씌운다. 직선 운동에서 절댓값을 씌우던 자리가 평면에서는 근호가 된다.

되살리는 길 (uv)′ = u′v + uv′ 를 먼저 적는다. 구하고 싶은 것이 uv′ 의 적분이므로 그 항만 남기고 옮긴 뒤 양변을 적분한다. (uv)′ 의 적분은 uv 로 돌아오므로 ∫uv′ = uv − ∫u′v 다. 부호가 헷갈리면 간단한 예로 확인한다. ∫x·e^x dx 에서 u = x, v′ = e^x 로 두면 xe^x − e^x + C 가 나오는데 이것을 미분하면 xe^x 로 되돌아온다. u 는 미분해서 단순해지는 쪽, v′ 은 적분해도 감당되는 쪽으로 고른다. 로그와 다항식이 u 자리에, 지수함수와 삼각함수가 v′ 자리에 오는 경우가 많다.

되살리는 길 적분할 식에서 덩어리 하나를 u 로 놓고 du 를 구해 본다. 남은 부분이 du 와 정확히 맞아떨어지면 고른 자리가 맞다. 맞지 않으면 다른 덩어리를 u 로 잡는다. 답을 미분해 원래 식이 나오는지 보면 검산이 끝난다.

되살리는 길 지수 쪽은 미분해도 자기 자신이라 그대로다. x 분의 1 은 거듭제곱 공식이 지수 −1 에서 분모가 0 이 되어 못 주는 자리이고, 미분해서 그 함수가 되는 것을 찾으면 로그다. 음수 쪽까지 한 식으로 쓰려고 절댓값을 씌운다. 분자가 분모의 도함수인 꼴을 보면 곧바로 로그로 적는다.

되살리는 길 코사인을 미분하면 마이너스 사인이다. 양변에 −1 을 곱하면 −cos 를 미분한 것이 사인이 되므로 사인의 적분이 −cos 다. 코사인의 적분은 코사인이 사인을 반 직각만큼 민 것이라는 사실로 같은 식에서 나온다. 헷갈리면 답을 미분해서 원래 식으로 돌아오는지 확인한다.

되살리는 길 자른 단면을 먼저 그린다. 반지름이 f(x) 인 원이므로 넓이는 πf(x)² 이고, 두께 dx 를 곱해 a 부터 b 까지 더하면 부피다. 넓이를 구할 때 ∫f(x)dx 이던 자리에 π·f(x)² 이 들어간 것뿐이다. 검산은 원기둥으로 한다. f(x) = r 인 상수함수를 0 부터 h 까지 돌리면 πr²h 가 나와야 하는데 공식에 넣으면 그대로 나온다. y 축 회전이면 x = g(y) 로 고쳐 π∫g(y)²dy 로 쓴다.

되살리는 길 급수에서 n 분의 1 을 먼저 떼어 낸다. 그것이 폭이다. 남은 곳에서 n 분의 k 를 찾아 x 로 바꾼다. 구간은 k 가 1 일 때와 n 일 때의 값이 정한다. 폭을 못 떼어 내면 적분으로 바뀌지 않는 급수다.

되살리는 길 곡선을 꺾은선으로 바꿔 조각 하나를 그린다. 가로와 세로를 두 변으로 하는 직각삼각형이 보이면 끝이다. y = f(x) 꼴의 1 은 x 방향으로 나아간 몫이라, 수평선이면 근호 안이 1 이 되어 길이가 구간의 폭이 되는 것으로 검산할 수 있다.

되살리는 길 순열을 먼저 쓰고 r! 로 나누면 조합이다. 나누는 이유는 뽑은 r 개를 줄 세우는 순서를 세지 않기 때문이다. 그래서 정작 외울 것은 식이 아니라 판별이다. 순서가 뜻을 가지면(반장과 부반장) 순열, 아니면(대표 2명) 조합이다.

되살리는 길 첫 성질은 말로 확인하는 것이 빠르다. 다섯에서 셋을 뽑으면 둘이 남으니 같은 일이다. 파스칼 쪽은 원소 하나를 정해 두고 그것을 뽑은 경우와 안 뽑은 경우로 가른다. 둘이 겹치지 않고 전부를 덮으므로 더하면 된다.

되살리는 길 아래 첨자를 n 과 r 중 어디에 더하는지가 매번 헷갈리는 자리다. 식을 외우려 하지 말고 줄을 그린다. 동그라미가 r 개, 칸막이가 n-1 개이므로 줄의 길이는 n+r-1 이고 그중 동그라미 자리 r 개를 고른다. 그래서 위가 n+r-1, 아래가 r 이다. 칸막이가 n 개가 아니라 n-1 개인 것만 조심하면 된다. 칸이 n 개 생기려면 막대는 하나 적다. 어느 셈법인지 고르는 것도 같은 물음 둘로 정해진다. 순서를 따지는가, 중복을 허락하는가. 둘 다 아니오면 조합, 중복만 예면 중복조합이다.

되살리는 길 한 사람을 붙박이로 앉히고 나머지를 줄 세운다고 생각한다. 4 명이면 3! = 6 가지다. 직접 그려 세어 보면 여섯 가지가 맞는지 바로 확인된다. 뒤집어도 같은 목걸이 문제라면 2 로 한 번 더 나눈다.

되살리는 길 같은 글자에 번호를 붙였다가 떼는 그림을 떠올린다. L 두 개에 번호를 붙이면 2 가지가 따로 세어지므로 2! 로 나눈다. 검산은 작은 낱말로 한다. AAB 는 3!/2! = 3 이고 실제로 AAB, ABA, BAA 세 가지다.

되살리는 길 자리를 r 칸 그려 놓고 칸마다 몇 가지가 올 수 있는지 적어 본다. 중복이 되니 전부 n 이다. 곱하면 n 의 r 제곱이다. 순열은 같은 그림에서 숫자가 하나씩 줄어든다.

되살리는 길 괄호 n 개에서 b 를 r 개 고른다고 생각한다. 그러면 항은 a^(n−r)b^r 이고 계수는 nCr 다. 지수의 합이 늘 n 이라는 것으로 검산한다. 세제곱 곱셈공식이 기억나면 그것과 맞춰 봐도 된다. n = 3 이면 계수가 1, 3, 3, 1 인데 3C0 부터 3C3 까지가 정확히 그 값이다.

되살리는 길 이항정리에 a 와 b 를 둘 다 1 로 놓는다. 좌변은 2 의 n 제곱이 되고 우변은 문자가 전부 1 이라 계수만 남는다. 대입 한 번으로 끝나는 것이 요점이다. 같은 수법으로 b 자리에 -1 을 넣으면 부호가 번갈아 붙어 교대합이 0 이라는 것도 바로 나온다.

되살리는 길 두 원을 그리고 칸을 세어 본다. A 를 칠하고 B 를 칠하면 가운데 칸만 두 번 칠해진다. 그 칸을 한 번 지우면 끝이다. 쓸 때는 배반인지 아닌지를 먼저 본다. 배반이면 가운데 칸이 없으므로 뺄 것도 없다. 반대로 「또는」 이 보이는데 두 사건이 함께 일어날 수 있으면 교집합을 반드시 구해야 하고, 그것을 못 구하겠으면 덧셈정리로는 풀 수 없다는 신호다. 그때는 여사건으로 방향을 뒤집는다.

되살리는 길 벤 다이어그램에서 원을 떼어 놓으면 배반이다. 겹치는 칸이 없으니 뺄 것도 없다.

되살리는 길 A 가 일어났다는 말은 세는 무대가 A 로 줄었다는 뜻이다. 그 안에서 B 인 몫을 세면 되므로 분모가 P(A) 가 된다. 주사위로 확인한다. 짝수가 나왔을 때 그것이 2 일 확률은 짝수 셋 중 하나라 1/3 이고, 식으로도 (1/6) ÷ (1/2) = 1/3 이다.

되살리는 길 먼저 성공이 앞쪽에 몰려 나오는 한 줄을 적어 본다. p 를 r 번, (1−p) 를 n−r 번 곱한 것이다. 그다음 성공이 어느 자리에 오는지 고르는 방법이 nCr 가지라는 것을 붙인다. nCr 을 빠뜨리는 실수가 가장 흔한데, 그러면 순서가 하나로 고정된 경우만 센 것이다. 지수의 합이 n 인지 보면 검산이 된다. r 과 n−r 을 더하면 n 이어야 한다.

되살리는 길 곱셈정리에서 출발한다. P(A∩B) = P(A)P(B|A) 에서, 독립이면 P(B|A) = P(B) 이므로 곱이 된다. 동전 두 번 던지기로 확인한다. 첫째가 앞이든 뒤든 둘째가 앞일 확률은 1/2 그대로이고, 둘 다 앞일 확률은 1/2 × 1/2 = 1/4 이다.

되살리는 길 동전 n 번 던지기로 확인한다. p = 1/2 이면 앞면이 나오는 횟수의 평균은 n/2 인데 공식도 np = n/2 로 맞는다. 분산은 한 번의 시행에서 p − p² 이고, p = 1/2 이면 1/4 로 가장 크다. 성공확률이 0 이나 1 에 가까울수록 결과가 뻔해져 분산이 0 으로 간다는 것과 맞아떨어진다. 표준편차를 물으면 √(np(1−p)) 로 근호를 씌우는 것을 잊지 않는다.

되살리는 길 정의는 편차의 제곱의 평균이고, 계산은 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 것이다. 둘의 순서가 헷갈리면 분산이 0 이상이어야 한다는 것으로 잡는다. E(X²) 이 {E(X)}² 보다 크거나 같으므로 큰 것에서 작은 것을 뺀다.

되살리는 길 수직선 위의 점 몇 개를 떠올린다. 통째로 밀면 서로의 간격은 그대로이고, a 배로 늘리면 간격도 a 배가 된다. 그래서 분산에는 a² 이 붙고 b 는 흔적도 없다. 표준화 Z = (X − m)/σ 가 이 성질을 두 번 쓴 것이다.

되살리는 길 평균을 빼서 중심을 0 으로 옮기고, 표준편차로 나눠 폭을 1 로 맞춘다. 두 동작뿐이다. z 는 결국 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어졌는가를 세는 값이다. 평균 40, 표준편차 20 인 시험의 80 점은 z = 2, 곧 두 칸 위다.

되살리는 길 이항분포의 평균 np 와 분산 np(1−p) 를 그대로 가진 정규분포로 갈아 끼운다. 까닭은 X 가 0 또는 1 인 확률변수 n 개의 합이라 중심극한정리가 그대로 걸리는 것이다. 계산은 표준화해서 표를 찾는다. 분모는 분산이 아니라 표준편차다.

되살리는 길 구조로 기억한다. 중심은 표본평균, 폭은 k 곱하기 표본평균의 표준편차다. 표본평균의 표준편차가 σ/√n 이라는 것만 붙잡으면 나머지는 따라온다. √n 을 n 으로 쓰는 실수가 가장 흔한데, 분산이 σ²/n 이라는 것에 제곱근을 씌워 보면 바로 잡힌다. k 는 95% 에 1.96, 99% 에 2.58 이고 문제에서 표로 주는 일도 많다. 거꾸로 구간의 양 끝이 주어지면 두 끝의 평균이 x̄, 차의 절반이 kσ/√n 이다. 신뢰도 95% 의 뜻은 이렇다. 같은 크기의 표본을 여러 번 뽑아 구간을 만들면 그중 약 95% 가 m 을 품는다는 말이다.

붙잡을 자리 모평균 구간의 σ/√n 자리에 √(p̂(1−p̂)/n) 을 갈아 끼운 것이다. 근호 안이 분산이고 분모에 n 이 있다는 것만 붙잡으면 된다. p̂ = 0.5 일 때 근호 안이 가장 커지므로 구간도 가장 넓어진다. 표본 크기를 정할 때 이 최댓값을 쓴다.

되살리는 길 표본평균을 확률변수 n 개의 합을 n 으로 나눈 것으로 본다. 평균에서는 n 이 약분되어 모평균이 그대로 남고, 분산에서는 상수배가 제곱으로 나와 n 의 제곱분의 1 이 걸린다. 독립이라 합의 분산이 n 곱하기 시그마의 제곱이므로 결과가 n 분의 시그마의 제곱이다. 표준편차는 그 제곱근이다.

붙잡을 자리 a² = b² + c² 를 식과 함께 외운다. 긴 반지름이 가장 크고 초점까지의 거리 c 가 그 안에 들어간다. 헷갈리면 c = 0 을 넣어 본다. 두 초점이 겹쳐 원이 되고 a = b 가 된다. 어느 축이 긴지는 x = 0 과 y = 0 을 차례로 넣어 확인한다. 분모가 큰 쪽이 긴 축이다.

되살리는 길 초점을 (p, 0), 준선을 x = 마이너스 p 로 두고 두 거리를 같다고 적는다. 제곱해서 펼치면 x 의 제곱과 p 의 제곱이 양쪽에서 지워지고 y 의 제곱 = 4px 만 남는다. 4 는 외우는 수가 아니라 2px 가 양쪽에서 부호를 달리해 합쳐진 결과다.

되살리는 길 타원과 같은 길을 걷되 합이 아니라 차로 시작한다. 그래서 부호 하나만 바뀐다. 관계식은 타원이 a 제곱 = b 제곱 + c 제곱, 쌍곡선이 c 제곱 = a 제곱 + b 제곱이다. 늘 가장 큰 것이 혼자 왼쪽에 선다고 기억하면 헷갈리지 않는다. 점근선은 표준형에서 1 을 0 으로 바꿔 인수분해하면 바로 나온다.

되살리는 길 원에서 x 제곱이 x1x 가 되던 것을 떠올린다. 타원이면 분모를 그대로 두고 같은 일을 하고, 쌍곡선이면 부호가 따라온다. 제곱이 없는 문자는 평균으로 바뀐다고 기억하면 포물선까지 한 규칙으로 덮인다.

되살리는 길 계수가 맞바뀌는 것만 조심하면 된다. 헷갈릴 때는 극단을 넣어 본다. m = 0 이면 P 는 A 자리여야 하는데, 식에 넣으면 분자가 n·a 이고 분모가 n 이라 정확히 a 가 나온다. 반대로 n = 0 이면 b 가 나온다. 이 확인이 두 계수의 자리를 정해 준다. 중점은 m = n 인 경우라 (a + b)/2 이고, 삼각형의 무게중심은 세 위치벡터의 평균 (a + b + c)/3 이다. 외분점은 n 을 −n 으로 바꾸면 그대로 따라온다.

붙잡을 자리 성분끼리 곱해 더하는 쪽과 크기·cos 으로 쓰는 쪽을 함께 붙잡는다. 두 표현이 같은 값이라는 것이 내적의 핵심이다. 검산은 수직인 두 벡터로 한다. (1, 0) 과 (0, 1) 은 성분 계산이 0 이고 cos 90° 도 0 이라 양쪽 다 0 이다. 내적이 0 이면 수직이라는 말이 여기서 나온다.

되살리는 길 지나는 점의 위치벡터에 방향벡터의 실수배를 더한다. t 가 0 이면 그 점, 1 이면 방향벡터만큼 간 자리, 음수면 반대쪽이다. 성분으로 풀면 매개변수 방정식이 되고 t 를 소거하면 익숙한 꼴이 된다.

되살리는 길 n · (p − a) = 0 을 적고 성분으로 편다. 거꾸로 일반형을 보면 계수 (a, b) 가 법선, (b, −a) 가 방향이다. 두 벡터의 내적이 ab − ba = 0 이 되는지로 검산한다.

되살리는 길 |p − c| = r 을 적고 제곱해 성분으로 풀어 원의 방정식이 나오는지 본다. 지름 꼴은 P 가 A 나 B 와 겹칠 때 0 이 되는지, 원 위의 다른 점에서 PA 와 PB 가 수직인지로 확인한다.

되살리는 길 그림자는 한 방향으로만 눌린다. 교선과 나란한 방향은 길이가 그대로이고 수직인 방향만 cos θ 배가 되므로 넓이도 cos θ 배다. 두 끝을 넣어 검산한다. θ = 0 이면 cos 0 = 1 이라 넓이가 그대로이고, θ = 90° 면 0 이 되어 그림자가 선으로 눕는다.

되살리는 길 직육면체의 대각선을 떠올린다. 밑면의 대각선을 먼저 구하고, 그것과 높이로 다시 직각삼각형을 만들면 된다. 결국 세 모서리의 제곱을 다 더하고 근호를 씌우는 일이라, 차원이 늘어도 항이 하나씩 늘 뿐이다. 빼는 순서는 신경 쓰지 않아도 된다. 제곱하면 부호가 사라진다. 검산은 (1, 2, 3) 과 (4, 6, 15) 로 한다. 차가 3, 4, 12 이고 9 + 16 + 144 = 169 이므로 13 이다.

되살리는 길 평면의 원과 똑같이 생각한다. 중심에서 점까지의 거리를 좌표로 쓰면 세 차이의 제곱의 합에 근호를 씌운 것이고, 그것이 r 이라는 식의 양변을 제곱한다. 일반형이 주어지면 문자마다 완전제곱을 만들어 표준형으로 고친 뒤 읽는다.

되살리는 길 평면 공식을 x, y 에 쓰고 z 에 한 번 더 쓴다. m 은 먼 쪽 끝점 B 의 좌표에 붙는다. m = n 을 넣어 중점이 나오는지로 검산한다.