계단 쌓기
두 벌을 붙이면 직사각형이 된다
슬라이더로 n 을 밀면 계단이 한 칸씩 자란다. 아래쪽 진한 칸이 원래 계단이고 위쪽 점선 칸이 뒤집어 얹은 한 벌이다. 둘이 언제나 빈틈없는 직사각형을 채우는 것이 보이고, 그 칸 수가 n(n+1) 이므로 합은 그 절반이다.
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두 번째 모드는 한 변이 1 부터 n 까지인 정사각형을 나란히 놓는다. 제곱의 합이 무엇을 세는 일인지 눈으로 확인하고, 닫힌 공식 n(n+1)(2n+1)/6 이 그 칸 수와 늘 같다는 것을 값 줄에서 맞대 본다. 세 번째 모드는 쌓기의 반대쪽인 소거다. 1/(k(k+1)) 을 1/k − 1/(k+1) 로 쪼개 0 에서 1 까지의 띠 위에 한 칸씩 놓으면 칸이 왼쪽부터 빈틈없이 이어 붙는다.
한 칸이 끝나는 점에서 다음 칸이 시작하므로 가운데 경계가 전부 지워지고, 채운 길이가 1 − 1/(n+1) 로 남는다. n 을 밀수록 오른쪽 빈 칸이 좁아져 합이 1 에 다가가지만 빈 칸이 0 이 되는 n 은 없다. 값 줄은 항을 하나씩 더한 값과 닫힌 공식의 값을 나란히 찍는다. 합의 분리 모드는 k 번째 막대를 mk 칸과 c 칸으로 쌓는다.
바닥의 c 칸이 막대마다 같아 한 직사각형 c × n 이 되고, 그 위의 파란 칸은 계단 m 벌이다. 막대를 하나씩 더한 값과 m × Σk + c × n 이 값 줄에 나란히 찍혀 합을 가르고 상수를 꺼내는 성질이 칸 세기로 보인다.
1 부터 5 까지 더한 계단입니다. 같은 계단을 뒤집어 붙이면 가로 5, 세로 6 인 직사각형이 되어 칸이 30 개이고, 그 절반인 15 가 합입니다.
💡 합의 공식은 대개 항을 하나씩 더해서 나오지 않는다. 합을 다른 모양으로 옮겨 놓고 그 모양을 한 번에 잰다. 계단은 두 벌을 붙여 직사각형으로 옮기고, 부분분수는 조각을 이어 붙여 띠 하나로 옮긴다. 공식에 붙은 「2 로 나누기」나 「1 − 1/(n+1)」은 옮겨 놓은 모양의 흔적이다.
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