계단 쌓기
두 벌을 붙이면 직사각형이 된다
슬라이더로 n 을 밀면 계단이 한 칸씩 자란다. 아래쪽 진한 칸이 원래 계단이고 위쪽 점선 칸이 뒤집어 얹은 한 벌이다. 둘이 언제나 빈틈없는 직사각형을 채우는 것이 보이고, 그 칸 수가 n(n+1) 이므로 합은 그 절반이다. 두 번째 모드는 한 변이 1 부터 n 까지인 정사각형을 나란히 놓는다. 제곱의 합이 무엇을 세는 일인지 눈으로 확인하고, 닫힌 공식 n(n+1)(2n+1)/6 이 그 칸 수와 늘 같다는 것을 값 줄에서 맞대 본다.
1 부터 5 까지 더한 계단입니다. 같은 계단을 뒤집어 붙이면 가로 5, 세로 6 인 직사각형이 되어 칸이 30 개이고, 그 절반인 15 가 합입니다.
💡 1 + 2 + ⋯ + n 의 공식에 2 로 나누는 일이 붙는 이유는 계단을 두 벌 썼기 때문이다. 계단 한 벌을 뒤집어 얹으면 어느 칸에서나 높이가 n + 1 로 고르게 되어 가로 n, 세로 n + 1 인 직사각형이 된다. 유도에서 「같은 합을 거꾸로 한 줄 더 쓰고 더한다」가 그림으로는 이 한 동작이다. 제곱의 합은 세 벌을 쌓아야 해서 평면에 안 담기지만, 무엇을 세는 일인지는 정사각형을 늘어놓아 보면 같다.
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