심슨의 역설 · 부분마다 이기고 전체에서 지는 법
경증에서도 중증에서도 이겼는데 전체에서는 크게 졌다
- 84% : 41% 전체 성공률, A 우세
- 90% : 95% 경증, B 우세
- 30% : 35% 중증, B 우세
두 병원의 수술 성공률을 비교한다. A 병원은 1,000건 중 840건 성공으로 84%, B 병원은 1,000건 중 410건 성공으로 41%다. A가 압도적으로 좋아 보인다. 그런데 환자를 경증과 중증으로 나눠 보면 이야기가 뒤집힌다.
비율에는 그것을 떠받치는 인원수가 딸려 있다. 그 무게를 떼고 비율만 견주면 결론이 뒤집힌다.
경증 환자를 보면 A는 900명 중 810명 성공(90%), B는 100명 중 95명 성공(95%)이다. 중증 환자는 A가 100명 중 30명(30%), B가 900명 중 315명(35%)이다. 경증에서도 중증에서도 B가 A보다 성공률이 높다. 두 부분에서 모두 이겼는데 전체에서는 41% 대 84%로 크게 졌다.
계산에 잘못이 없다. 두 병원이 받은 환자의 구성이 달랐을 뿐이다. B는 중증 환자를 900명이나 받았고, 중증은 어느 병원에서든 성공률이 30%대로 낮다. 낮은 값이 대부분을 차지하니 전체 평균이 그쪽으로 끌려간 것이다. 이렇게 부분마다의 비교와 전체의 비교가 반대로 나오는 현상을 심슨의 역설이라 부른다. 두 비율을 더하거나 평균 낼 때는 각 비율이 몇 명을 대표하는지, 가중치가 함께 붙는다는 사실을 놓치면 반드시 걸려든다.
1973년 미국 버클리 대학원 입학 통계가 유명한 사례다. 전체 합격률은 남성이 여성보다 뚜렷하게 높았지만, 학과별로 나눠 보면 여성이 불리하지 않은 곳이 대부분이었다. 여성 지원자가 경쟁률이 높은 학과에 많이 지원했다는 사실이 전체 숫자에 가려져 있었다. 어떤 수치를 보고 원인을 말하기 전에 "이 평균 안에 어떤 집단이 어떤 비율로 섞여 있는가"를 묻는 습관은 이 한 사례로 충분히 배울 수 있다.