아서 케일리

케일리는 스물여덟에 변호사가 되어 14년을 법률 사무소에서 일했다. 그러면서 틈틈이 쓴 논문이 평생 900편에 이른다. 그가 다루던 문제 중 하나는 좌표평면 위의 점을 다른 점으로 옮기는 일차변환이었다. x′ = ax + by, y′ = cx + dy 같은 식인데, 변환을 결정하는 것은 x, y 가 아니라 네 개의 계수 a, b, c, d 뿐이다.

그래서 그는 계수만 네모나게 떼어내 그 자체를 하나의 대상으로 부르기로 했다. 1858년 「행렬론」에서다. 여기서 결정적인 선택은 곱셈의 정의였다. 성분끼리 곱하는 자연스러워 보이는 방식 대신, 두 변환을 잇달아 적용한 결과가 곱이 되도록 규칙을 정한 것이다. 첫 변환의 결과를 두 번째 변환의 식에 넣고 정리하면 "왼쪽의 행과 오른쪽의 열을 맞물려 곱해 더하는" 그 모양이 그대로 나온다. 행렬 곱셈 규칙이 낯선 것은 그것이 표의 모양이 아니라 변환의 합성에서 나왔기 때문이다.

AB 와 BA 가 다른 것도 이 자리에서 보면 결함이 아니다. 돌린 다음 미는 것과 밀고 나서 도는 것은 실제로 다른 자리에 도착한다. 순서가 중요하다는 사실이 식에 그대로 남은 것뿐이다. 그는 정사각행렬이 자기 자신의 특성방정식을 만족한다는 정리(케일리–해밀턴)도 남겼다. '행렬(matrix)'이라는 이름은 친구 실베스터가 여기서 행렬식이 태어난다는 뜻으로 '모체'라 부른 데서 왔다.

주요 업적

• 1858년 「행렬론」에서 행렬을 독립된 대수적 대상으로 정의
• 일차변환의 합성이 되도록 행렬 곱셈을 정의 — 행 × 열 규칙의 출발점
• 케일리–해밀턴 정리를 밝힘
• 평생 약 900편의 논문으로 군론·기하학·불변식론에 기여