고1 문자와식
산술평균과 기하평균의 관계
두 양수의 산술평균은 기하평균보다 작아지지 않는다. 미지수가 어떤 값을 가져도 늘 성립하는 부등식을 절대부등식이라 하는데, 그 증명은 거의 언제나 실수의 제곱이 0 이상이라는 한 줄에서 출발한다. 합이 일정할 때 곱의 최댓값, 곱이 일정할 때 합의 최솟값을 구하는 표준 도구다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 두 양수에 대해 산술평균과 기하평균의 크기를 비교한다
- 등호가 성립하는 조건을 함께 적는다
- 곱이 일정한 두 양수의 합의 최솟값을 구한다
한 단계씩 유도해 보기
a 와 b 가 양수이므로 √a 와 √b 가 실수다. 실수를 제곱하면 음수가 될 수 없으므로 이 부등식은 a 와 b 가 어떤 양수이든 늘 성립한다. 절대부등식의 증명은 대개 이렇게 제곱이 0 이상이라는 사실 하나를 출발점으로 삼는다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
제곱이 0 이상이라는 한 줄에서 세 줄이면 나온다. 등호 조건까지 그 한 줄이 알려 준다.
√a − √b 를 제곱해 0 이상이라 적는다. 전개하면 a + b − 2√(ab) 이고 넘겨서 2 로 나누면 끝이다. 어느 쪽이 큰지 헷갈리면 a = 1, b = 4 로 검산한다. 산술평균 2.5, 기하평균 2 로 산술평균이 크다.