명제와 증명

개요

”$2$ 는 소수이다”는 참이고 ”$4$ 는 소수이다”는 거짓이다. 이렇게 참인지 거짓인지가 분명히 판정되는 문장을 명제라 한다. “수학은 재미있다”는 사람마다 다르므로 명제가 아니다. 앞 소단원에서 “누가 속하는지 분명한 모임”만 집합이라 불렀던 것과 똑같은 태도다.

이 소단원의 핵심은 ”$p$ 이면 $q$ 이다”라는 문장을 뒤집고 부정하는 규칙이다. 여기서 가장 쓸모 있는 사실 하나가 나온다: 명제와 그 대우는 참·거짓이 항상 같다. 원래 명제를 직접 보이기 어려울 때 대우를 대신 증명하면 되고, 이것이 수학적 귀납법과 함께 고등 수학에서 쓰는 증명의 두 기둥이 된다.

핵심 사실

• 명제는 참·거짓이 분명한 문장이다. $x$ 같은 미지수가 들어 있어 값에 따라 참·거짓이 달라지는 문장은 조건이라 하고 $p(x)$ 로 쓴다.
• 진리집합: 조건 $p$ 를 참이 되게 하는 원소의 집합 $P$ 다. 조건을 집합으로 바꾸면 명제의 문제가 집합의 문제가 된다.
• ”$p \Rightarrow q$ 가 참”은 $P \subset Q$ 와 같은 말이다. 이 대응이 이 소단원 전체를 관통한다.
• 부정 $\sim p$ 의 진리집합은 $P^c$ 다. “모든”의 부정은 “어떤 ~은 아니다”, “어떤”의 부정은 “모든 ~은 아니다”로 뒤집힌다.
• 역·이·대우: 명제 $p \Rightarrow q$ 에 대해 역은 $q \Rightarrow p$, 이는 $\sim p \Rightarrow \sim q$, 대우는 $\sim q \Rightarrow \sim p$ 다.

$$(p \Rightarrow q) \;\equiv\; (\sim q \Rightarrow \sim p)$$

• 명제와 대우는 참·거짓이 언제나 일치한다. 반면 역과 이는 원래 명제와 무관하다, 참일 수도 거짓일 수도 있다.
• 필요조건·충분조건: $p \Rightarrow q$ 가 참일 때 $p$ 는 $q$ 이기 위한 충분조건, $q$ 는 $p$ 이기 위한 필요조건이다. 양쪽이 다 참이면 $p \iff q$ 이고 필요충분조건이라 한다.
• 반례 하나면 거짓이다. 명제가 거짓임을 보이려면 조건은 만족하면서 결론은 만족하지 않는 예를 딱 하나 들면 된다.
• 대우를 이용한 증명: ”$n^2$ 이 짝수이면 $n$ 도 짝수”를 직접 보이기는 번거롭지만, 대우인 ”$n$ 이 홀수이면 $n^2$ 도 홀수”는 $n = 2k+1$ 을 제곱해 바로 보인다.
• 귀류법: 결론을 부정한 뒤 모순을 이끌어 낸다. $\sqrt{2}$ 가 무리수임을 보이는 고전적 증명이 이 꼴이다.

• 증명은 한 줄이다. 실수의 제곱은 언제나 $0$ 이상이므로 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ 이고, 좌변을 전개하면 $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$, 곧 $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ 가 된다. 양변을 $2$ 로 나눈 것이 위 식이다.
• 등호는 $a = b$ 일 때만 성립한다. 최솟값을 묻는 문제에서 이 조건을 확인하지 않으면 답이 틀린다. 단계별 유도는 산술평균과 기하평균의 관계 편에 있다.