곡선과 x 축 사이의 넓이를 구하는 식에서 밑변이 x 축이 아니라 다른 곡선으로 바뀐 것뿐이다. 세로로 얇은 직사각형 하나의 높이가 위 곡선에서 아래 곡선까지의 거리이고, 그것을 구간 전체에 걸쳐 더한다. 그래서 두 곡선이 x 축 아래에 있어도 식이 그대로 통한다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
두 곡선 사이의 넓이를 위 곡선 빼기 아래 곡선의 적분으로 세운다
어느 쪽이 위인지 바뀌는 구간을 나누어 계산한다
곡선이 x 축 아래에 있어도 같은 식이 통하는 이유를 설명한다
한 단계씩 유도해 보기
세로로 얇게 썬 조각 하나의 높이가 위 곡선에서 아래 곡선까지의 거리다. 그 높이를 구간 전체에 걸쳐 더한 것이 넓이다. 두 곡선이 x 축 아래에 있어도 차는 변하지 않으므로 같은 식이 그대로 통한다.
ΔS≈{f(x)−g(x)}Δx
구간을 세로로 얇게 썬다. 조각 하나는 거의 직사각형이고, 높이가 위 곡선에서 아래 곡선까지의 거리다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
세로로 얇은 직사각형의 높이가 위 곡선 빼기 아래 곡선이라는 한 줄에서 나온다.
식보다 순서가 중요하다. 첫째로 교점을 구해 적분 구간을 정한다. 둘째로 그 구간에서 어느 쪽이 위인지를 정한다. 값을 하나 넣어 보면 바로 갈린다. 셋째로 위에서 아래를 빼서 적분한다. 넓이가 음수로 나왔다면 위아래를 거꾸로 잡은 것이다. 구간 안에서 위아래가 바뀌면 교점에서 구간을 나눠 따로 적분한 뒤 더한다. 절댓값을 그냥 씌워 한 번에 적분하려 들면 계산이 안 된다.