정적분의 활용

개요

정적분의 가장 대표적인 쓰임은 넓이다. 직사각형·삼각형처럼 공식이 있는 도형이 아니라, 곡선으로 둘러싸인 넓이도 정적분으로 정확히 구할 수 있다. 잘게 쪼갠 무수한 막대의 넓이를 더한다는 적분의 원래 뜻이, 곡선 아래 넓이로 곧장 이어진다.

핵심 사실

• $x$ 축 아래에 있을 때: $f(x)\le 0$ 인 구간에서는 정적분 값이 음수가 되므로, 넓이는 절댓값으로 잡는다.

$$S=\int_a^b |f(x)|\,dx$$

• 두 곡선 사이의 넓이: 구간에서 $f(x)\ge g(x)$ 이면, 두 곡선 사이의 넓이는 위 곡선 빼기 아래 곡선을 적분한다.

$$S=\int_a^b \{f(x)-g(x)\}\,dx$$

• 속도와 거리: 06에서 위치를 미분하면 속도가 됐다. 거꾸로 속도를 적분하면 위치의 변화가 나온다. 시각 $a$ 에서 $b$ 까지의 위치의 변화량은

$$x(b)-x(a)=\int_a^b v(t)\,dt$$

• 위치의 변화량과 움직인 거리는 다르다. 되돌아온 만큼은 위치 변화에서 상쇄되지만, 실제로 움직인 거리에는 그대로 더해진다. 그래서 움직인 거리는 속도에 절댓값을 씌운다.

$$(\text{움직인 거리})=\int_a^b |v(t)|\,dt$$

넓이에서 $x$ 축 아래를 절댓값으로 잡던 것과 정확히 같은 구조다. 축 아래로 내려간 부분이 넓이에서는 음수가 되고, 운동에서는 뒤로 간 것이 된다.

이 “같은 구조”를 아래에서 눈으로 보세요. y = x² − 4 를 골라 구간을 $-3$ 에서 $3$ 까지 잡으면 $x$ 축 아래로 내려간 막대가 다른 색으로 그려지고, 그만큼이 음수로 세어져 위쪽과 상쇄됩니다. 그래서 정적분의 값과 넓이 $\int|f|$ 가 서로 다른 수로 나란히 찍힙니다. 이 그림에서 $y$ 를 속도로, $x$ 를 시각으로 바꿔 읽으면 그대로 위치의 변화량과 움직인 거리의 차이입니다.

x축 아래는 음수로 세어진다위쪽만 잡으면 (구간 [2, 3])곡선 아래 넓이 (y = 4 − x²)

정적분 · 쪼개서 더하기부정적분 · 원시함수의 무리두 곡선 사이 · 위 빼기 아래곡선의 길이 · 꺾어서 재기쌓인 넓이 · 미분하면 높이대칭 구간 · 짝지어 세기속도 · 변화량과 거리

y = x²y = 4 − x²y = x² − 4y = x³ − 3xy = eˣy = 1/xy = sin xy = cos x

아래끝 a = −3 위끝 b = 3 쪼갠 수 n = 24

직사각형 24개의 합   S₂₄ = −5.938 n 을 늘려 보세요. 막대가 곡선에 붙으면서 합이 아래 값으로 다가갑니다

∫_a^b (x² − 4) dx = [x³/3 − 4x]_a^b = −3 − 3 = −6

차이 = 0.063 왼쪽 끝값으로 세운 막대라 늘 조금 모자라거나 넘친다. 다만 n 을 두 배로 하면 차이도 절반이 되고, n 을 한없이 키우면 0 으로 간다. 정적분은 그 극한값이다

넓이 = ∫|f| = 15.333 ≠ 정적분 −6 x축 아래 막대(붉은색)가 음수로 세어져 위쪽과 상쇄된다. 넓이를 물으면 절댓값을 씌운다

n 24 · 합 −5.938 · 정적분 −6 · 차 0.063

y = x² − 4 을 −3 부터 3 까지 24 개의 직사각형으로 쪼갰습니다. 직사각형의 합은 −5.938 이고 정적분의 값은 −6 입니다. x축 아래가 음수로 세어지므로 넓이는 15.333 로 다릅니다.