미적분
합성함수의 미분법
함수 안에 함수가 들어 있으면 변화가 두 단계로 전해진다. 속이 x 보다 몇 배 빨리 변하고, 겉이 속보다 몇 배 빨리 변하는지를 곱하면 전체가 x 보다 몇 배 빨리 변하는지가 나온다. 미분법 셋 가운데 가장 많이 쓰이고, 몫의 미분법도 이것 위에 선다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 합성함수를 겉함수와 속함수로 가른다
- 겉을 미분한 뒤 속을 그대로 넣고 속미분을 곱한다
- 여러 겹으로 겹친 함수도 껍질을 하나씩 벗겨 미분한다
한 단계씩 유도해 보기
합성함수 y = f(g(x)) 를 두 단계로 쪼갠다. x 가 u 를 정하고 u 가 y 를 정하는 사슬이다.
1 / 4 단계
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
변화율을 이어 붙이면 Δu 가 약분된다는 한 줄이다. 분수처럼 보이는 꼴이 그대로 답이다.
dy/dx = dy/du × du/dx 를 적어 놓고 u = 속함수로 둔다. 겉을 미분하고 속을 미분해 곱한다는 말과 같다. 속미분을 빠뜨렸는지는 검산으로 잡힌다. y = (2x+1)² 를 전개해 미분한 값과 비교하면 2 가 빠졌는지 바로 보인다.
이런 실수를 조심하세요
- 속미분을 빠뜨리는 경우. (2x+1)⁵ 의 도함수를 5(2x+1)⁴ 로 쓰면 2 가 빠진 것이다
- f′(g(x)) 를 f′(x) 로 쓰는 경우. 겉함수를 미분한 뒤 그 자리에 속함수를 그대로 넣는다
- 겉과 속을 거꾸로 잡는 경우. 값을 구할 때 맨 마지막에 하는 계산이 겉함수다
예제
문제. y = (2x + 1)⁵ 을 미분하시오.
답. y' = 10(2x + 1)⁴
겉함수 u⁵ 을 미분하면 5u⁴ 이고 u 자리에 2x + 1 을 넣는다. 속함수 2x + 1 을 미분하면 2 이므로 5(2x+1)⁴ × 2 = 10(2x+1)⁴ 이다.