u 바퀴 ÷ x 바퀴2.00y 바퀴 ÷ u 바퀴3.00y 바퀴 ÷ x 바퀴를 곧장 재면6.00두 톱니비의 곱 2.00 × 3.00 = 6.00
톱니비는 x 를 0.0001 만큼 앞뒤로 움직였을 때 바퀴의 각이 바뀐 양을 나눠 잰다. 색 부채꼴은 x 바퀴가 톱니 한 칸 도는 동안 각 바퀴가
도는 각이다. 비교: 미분법으로 f′(g(x)) · g′(x) = 3u² × 2x = 6.00
u = x² 이고 y = u³ 이면 y 는 x 의 합성함수다. x 를 조금 돌리면 u 가 x 의 몇 배만큼 돌고, u 가 돈 만큼 y 가 u 의 몇 배만큼 돈다. 그래서 y 가 x 의 몇 배로 도는지는 두 배율을 곱한 것이다. x = 1 에서 2 배와 3 배라 6 배다. 배율은 자리마다 바뀌지만 곱이 전체의 배율이라는 것은 어디서나 같다. 이것을 적은 것이 {f(g(x))}′ = f′(g(x)) g′(x) 다.
함수 안에 함수가 들어 있으면 변화가 두 단계로 전해진다. 속이 x 보다 몇 배 빨리 변하고, 겉이 속보다 몇 배 빨리 변하는지를 곱하면 전체가 x 보다 몇 배 빨리 변하는지가 나온다. 미분법 셋 가운데 가장 많이 쓰이고, 몫의 미분법도 이것 위에 선다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
합성함수를 겉함수와 속함수로 가른다
겉을 미분한 뒤 속을 그대로 넣고 속미분을 곱한다
여러 겹으로 겹친 함수도 껍질을 하나씩 벗겨 미분한다
한 단계씩 유도해 보기
x 가 u 를 정하고 u 가 y 를 정한다. 각 걸음의 변화율을 곱하면 전체의 변화율이 된다.
y=f(u),u=g(x)
합성함수 y = f(g(x)) 를 두 단계로 쪼갠다. x 가 u 를 정하고 u 가 y 를 정하는 사슬이다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
변화율을 이어 붙이면 Δu 가 약분된다는 한 줄이다. 분수처럼 보이는 꼴이 그대로 답이다.
dy/dx = dy/du × du/dx 를 적어 놓고 u = 속함수로 둔다. 겉을 미분하고 속을 미분해 곱한다는 말과 같다. 속미분을 빠뜨렸는지는 검산으로 잡힌다. y = (2x+1)² 를 전개해 미분한 값과 비교하면 2 가 빠졌는지 바로 보인다.