여러 가지 미분법

개요

앞의 세 소단원에서 다항·지수·로그·삼각함수의 도함수를 하나씩 얻었다. 그런데 실제 문제에 나오는 식은 $x^2 e^x$, $\dfrac{\sin x}{x}$, $\sqrt{x^2+1}$ 처럼 이들이 섞인 꼴이다.

이 소단원은 그 조립 규칙을 다룬다. 곱해져 있으면 곱의 미분법, 나뉘어 있으면 몫의 미분법, 함수 안에 함수가 들어 있으면 연쇄법칙이다. 셋 중 가장 중요한 것은 연쇄법칙이다. “겉을 미분하고 속을 미분해 곱한다”는 이 규칙 하나면 아무리 겹쳐 있어도 껍질을 하나씩 벗겨 낼 수 있다.

핵심 사실

• 몫의 미분법: 분모는 제곱, 분자는 빼는 순서가 중요하다.

$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$

• 연쇄법칙(합성함수의 미분): 겉함수를 미분한 뒤 속함수의 미분을 곱한다.

$$\{f(g(x))\}' = f'(g(x))\,g'(x)$$

• 예를 들어 $(\sin 3x)' = \cos 3x \cdot 3$, $(e^{x^2})' = e^{x^2}\cdot 2x$, $(\ln(2x+1))' = \dfrac{2}{2x+1}$ 이다.
• $x^n$ 의 미분은 실수 지수까지 확장된다. $(x^{\frac{1}{2}})' = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ 이므로 $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 다.
• 음함수의 미분법: $x^2 + y^2 = 1$ 처럼 $y$ 가 따로 풀려 있지 않아도, 양변을 $x$ 로 미분하되 $y$ 를 미분할 때마다 $\dfrac{dy}{dx}$ 를 곱한다. 위 식이면 $2x + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$ 이므로 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ 다.
• 매개변수로 나타낸 함수: $x = f(t),\ y = g(t)$ 일 때

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$$

• 역함수의 미분법: 서로의 도함수는 역수 관계다.

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \qquad \left(\frac{dy}{dx} \ne 0\right)$$

• 이계도함수 $f''(x)$ 는 도함수를 한 번 더 미분한 것이며, 다음 소단원에서 그래프의 오목·볼록을 판정하는 데 쓴다.

위 공식들은 결과만 적어 둔 것이다. 손으로 다시 밟아 보면 왜 그 모양인지가 드러난다. 곱의 법칙은 극한의 정의 안에 원래 없던 항을 더하고 빼 두 조각으로 가르는 것이고, 연쇄법칙은 $y$ 의 변화량을 $u$ 의 변화량으로 한 번 갈아타는 것뿐이며, 몫의 법칙은 나눗셈을 $-1$ 제곱의 곱셈으로 바꿔 앞의 두 규칙을 그대로 재사용한 것이다. 본문의 식을 대신하는 것이 아니라, 그 식이 나온 자리를 프리셋으로 갈아 끼우며 다시 확인하는 것이다.

곱의 법칙 유도연쇄법칙 유도몫의 법칙 유도 (곱+연쇄로부터)

$$\{f(x)g(x){\}}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

정의에서 시작한다. 곱의 미분법도 다른 미분법과 똑같이 극한의 정의를 그대로 적용하는 데서 출발한다.

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