고1 기하
원의 접선의 방정식
원 위의 한 점에서 그은 접선의 식이다. 원의 식 x² + y² = r² 에서 x² 을 x₁x 로, y² 을 y₁y 로 한 짝씩만 접점 좌표로 바꿔 쓴 꼴이라 모양으로 기억된다. 그 모양이 나오는 까닭은 하나뿐이다. 접선은 접점까지 그은 반지름과 수직이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 원 위의 점이 주어질 때 그 점에서의 접선의 식을 바로 적는다
- 접선의 기울기를 반지름의 기울기에서 구한다
- 이 식이 원 위의 점에서만 쓰인다는 조건을 확인한다
한 단계씩 유도해 보기
원 x² + y² = r² 위의 점 P(x₁, y₁) 에서 그은 접선을 l 이라 한다. 접선은 원과 P 에서만 만나므로 중심 O 에서 P 까지 그은 반지름 OP 가 접선과 직각을 이룬다. 다른 방향으로 그으면 원을 두 점에서 자른다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
반지름과 수직이라는 한 문장에서 기울기를 얻고 점과 기울기 꼴에 넣으면 두 줄에 나온다.
원과 접점을 그리고 반지름을 긋는다. 반지름의 기울기가 y₁ / x₁ 이므로 접선은 −x₁ / y₁ 이고, 점과 기울기 꼴에 넣어 분모를 없애면 오른쪽이 x₁² + y₁², 곧 r² 이 된다. 다 쓴 뒤에는 모양으로 검산한다. 원의 식에서 제곱 하나씩만 접점 좌표로 바뀐 꼴이어야 한다.