원의 방정식

개요

원의 성질에서 원은 “한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임”이라고 정의했다. 이 정의를 좌표평면에서 식으로 옮기면 그대로 원의 방정식이 된다. “중심에서 거리가 $r$ 인 점”이라는 문장을 앞 단원의 거리 공식으로 쓰기만 하면 되기 때문이다. 정의가 식으로 바뀌는 과정을 직접 따라가 보면, 이 단원에는 새로 외울 것이 거의 없다는 걸 알게 된다.

핵심 사실

• 이것은 거리 공식 $\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r$ 의 양변을 제곱한 것이다. 중심이 원점이면 $x^2 + y^2 = r^2$ 로 간단해진다.
• 중심의 부호에 주의: 식에는 $-a$, $-b$ 로 들어간다. 따라서 $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ 의 중심은 $(3, -2)$ 이고 반지름은 $5$ 다.
• 일반형에서 중심과 반지름 읽기: $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ 처럼 전개된 꼴로 주어지면, $x$ 끼리 $y$ 끼리 모아 완전제곱식으로 묶어 표준형으로 되돌린다.

$$x^2+y^2-4x+6y+9=0 \ \Longrightarrow\ (x-2)^2+(y+3)^2=4$$

• 묶는 순간 중심 $(2, -3)$, 반지름 $2$ 가 그대로 보인다.
• 원이 되지 않는 경우: 정리했을 때 우변이 $0$ 이면 점 하나뿐이고, 음수면 그런 점은 존재하지 않는다. 우변이 양수일 때만 원이다.
• 원과 직선의 위치 관계: 중심에서 직선까지의 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 을 비교한다. 두 식을 연립해 판별식을 따져도 같은 결론이 나오지만, 거리 비교가 훨씬 빠르다.
• 원 위의 점에서의 접선: 접선은 그 접점까지 그은 반지름과 수직이다. 원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $(x_1,\ y_1)$ 이라면 반지름의 기울기가 $\dfrac{y_1}{x_1}$ 이므로 접선의 기울기는 $-\dfrac{x_1}{y_1}$ 이고, 이 점을 지나는 직선을 정리하면 다음이 된다.

$$x_1 x + y_1 y = r^2$$

• 외우기보다 모양을 보는 편이 낫다. 원의 식 $x^2+y^2=r^2$ 에서 $x^2 \to x_1 x$, $y^2 \to y_1 y$ 로 한 짝씩만 접점 좌표로 바꿔 쓴 꼴이다. 예를 들어 원 $x^2+y^2=25$ 위의 점 $(3,\ 4)$ 에서의 접선은 $3x+4y=25$ 다.
• 접점 대신 기울기가 주어지면 접선이 둘이다. 기울기가 $m$ 인 접선은 원을 사이에 두고 나란히 놓이고, 위에서 쓴 “중심까지의 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 을 비교한다”를 $d = r$ 로 놓으면 절편이 바로 나온다.

$$y = mx \pm r\sqrt{m^2 + 1}$$

• 근호 안의 $m^2 + 1$ 은 외울 값이 아니라 점과 직선 사이의 거리 공식의 분모가 그대로 올라온 것이다. (기울기가 주어진 원의 접선에 단계별 유도를 적어 두었다.)

이 단원에 새로 외울 것이 거의 없다는 말을 아래에서 확인해 보세요. “중심에서 거리가 $r$ 인 점”이라는 한 문장에서 출발해 거리 공식을 쓰고 양변을 제곱하면 표준형이고, 전개하면 일반형입니다. 네 단계가 전부입니다.

$$\overline{PC}=r$$

중심 C(a, b) 에서 거리가 언제나 r 인 점 P(x, y) 가 그리는 자취가 원이다.

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1 / 4 단계

유도를 봤으니 이제 직접 옮겨 보세요. 중심을 끌면 표준형과 일반형이 동시에 다시 쓰입니다. 둘이 같은 원을 다르게 쓴 것뿐이라는 게 여기서 붙습니다(위를 전개하면 아래, 아래를 완전제곱으로 묶으면 위). 시험 포인트의 “우변은 $r^2$ 이지 $r$ 이 아니다”도 반지름을 밀면서 확인할 수 있습니다. 접선 으로 바꿔 접점을 돌리면 접선이 반지름과 늘 직각을 이루고, 원과 직선 에서는 거리 $d$ 하나만 재면 두 점·접함·안 만남이 갈립니다.

표준형 ↔ 일반형접선: 원 x²+y²=25 위의 점 (3, 4)직선이 접하는 순간 (d = r)만나지 않는 직선 (d > r)

표준형 ↔ 일반형접선 x₁x + y₁y = r²원과 직선 (d 와 r)

중심을 끌어 옮겨 보세요(방향키로도 움직입니다).

반지름 r = 2

표준형   (x − 2)² + (y + 3)² = 4

일반형   x² + y² − 4x + 6y + 9 = 0

같은 원을 다르게 쓴 것뿐이다. 위를 전개하면 아래가 되고, 아래를 완전제곱으로 묶으면 위가 된다. 우변이 r² 이지 r 이 아니라는 것도 여기서 확인된다(2² = 4).

중심은 2, -3 이고 반지름은 2 입니다. 표준형과 일반형은 같은 원을 다르게 쓴 것이며, 일반형의 상수항은 9 입니다.