원 놀이터
접선은 반지름과 늘 직각이다
중심을 끌고 반지름을 밀면 표준형과 일반형이 나란히 다시 쓰인다. 둘이 같은 원을 다르게 쓴 것뿐이라는 게 전개와 완전제곱 사이에서 보인다. 접점을 돌리면 접선이 따라 돌며 반지름과 늘 직각을 이루고, 직선 모드로 바꾸면 중심까지의 거리 d 와 반지름 r 만 견줘 두 점·접함·안 만남이 갈린다.
설명 더 보기설명 접기
직선 모드에서 재는 d 는 점과 직선 사이의 거리 공식 그 자체라, 계수를 어떻게 넣어 그 값이 나왔는지를 대입한 꼴로 함께 적어 둔다. 「기울기가 주어진 접선」 모드는 기울기 m 을 정하면 접선 둘을 함께 긋는다. 두 접점을 잇는 선분이 지름이고 두 접선에 수직이라 둘이 그 지름을 사이에 두고 대칭이다.
값 줄은 절편 ±r√(m² + 1) 을 대입해 계산하고, 그은 두 직선의 계수로 중심까지의 거리를 다시 재어 둘 다 r 과 같은지를 보여 준다. 두 원 모드는 둘째 원의 중심과 반지름을 슬라이더로 받아 두 일반형을 나란히 적고, 한 식에서 다른 식을 뺀 일차식을 직선으로 긋는다. 두 원이 두 점에서 만나면 교점을 원의 식에서 따로 구해 그 직선에 넣어 본 값이 0 으로 찍힌다.
둘째 원을 멀리 밀면 직선은 남는데 교점이 사라져 현이 아니게 되고, 직선이 늘 두 중심을 잇는 선과 직각인 것도 함께 보인다.
중심은 2, -3 이고 반지름은 2 입니다. 표준형과 일반형은 같은 원을 다르게 쓴 것이며, 일반형의 상수항은 9 입니다.
💡 원과 직선의 이야기는 결국 중심에서 직선까지의 거리 d 하나로 모인다. 접한다는 것은 d = r 이라는 뜻이고, 접점에서 반지름이 접선과 직각인 것도, 기울기가 같은 접선이 위아래 둘인 것도 거기서 나온다. 식의 모양은 그 한 가지 사실을 좌표로 적은 것이다.
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