고1 수와연산
복소수의 곱셈과 나눗셈
복소수의 덧셈과 뺄셈은 실수부분끼리, 허수부분끼리 따로 하면 끝난다. 새로운 것은 곱셈부터다. 괄호를 전개하는 것까지는 실수에서 하던 그대로인데, 마지막에 i² 가 −1 로 바뀌면서 항 하나가 허수부분에서 실수부분으로 건너온다. 나눗셈은 그 곱셈을 한 번 더 쓰는 일이다. 켤레를 분모와 분자에 곱하면 분모가 실수가 되어 결과를 다시 a + bi 꼴로 적을 수 있다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 두 복소수의 곱을 실수부분과 허수부분으로 갈라 적는다
- 켤레끼리의 곱이 왜 언제나 실수인지 설명한다
- 분모에 허수가 있는 식을 켤레를 곱해 a + bi 꼴로 고친다
한 단계씩 유도해 보기
분배법칙으로 네 항을 그대로 전개한다. 여기까지는 실수에서 하던 곱셈과 다를 것이 하나도 없다. 새로 생긴 것은 마지막 항의 i² 하나뿐이다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
괄호를 전개하고 i² 를 −1 로 바꾸면 그 자리에서 나온다. 외울 것은 i² = −1 하나다.
곱셈은 평소처럼 괄호를 전개한 뒤 마지막에 i² 만 −1 로 바꾼다. 그러면 bd 가 부호를 달고 실수부분으로 넘어와 ac − bd 가 된다. 나눗셈은 분모의 켤레를 떠올린다. a + bi 에 a − bi 를 곱하면 가운데 두 항이 지워져 a² + b² 라는 실수가 남는다. 검산은 다시 곱해 보는 것이 가장 빠르다. (2+i)/(1−i) 가 (1+3i)/2 로 나왔다면 (1−i)(1+3i) 를 계산해 4 + 2i 가 되는지, 2 로 나눠 2 + i 로 돌아오는지 본다.