복소수

개요

Unit 4에서 이차방정식을 풀 때 판별식이 음수이면 “실근이 없다”로 끝냈다. 그런데 그 말을 정확히 옮기면 “근이 없다”가 아니라 “실수 중에는 없다” 다. $x^2 = -1$ 을 만족하는 실수는 정말로 하나도 없다. 실수는 제곱하면 반드시 $0$ 이상이기 때문이다.

수학은 여기서 두 갈래 중 하나를 고를 수 있었다. 답이 없다고 선언하고 멈추거나, 제곱해서 $-1$ 이 되는 수를 하나 새로 들이거나. 음수를 처음 배울 때도, 무리수를 처음 배울 때도 같은 일이 있었다. $3 - 5$ 를 계산할 수 없다고 하는 대신 음수를 들였고, $\sqrt{2}$ 를 분수로 쓸 수 없다고 하는 대신 무리수를 들였다. 이번에도 같은 선택을 한다.

그 새 수를 $i$ 라 부르고 $i^2 = -1$ 이라고 약속하면, 근의 공식의 근호 안이 음수여도 답을 적을 수 있다. 바로 뒤 이차부등식 단원에서 “축과 만나지 않는다”고 말하게 될 포물선도 복소수 범위에서는 근 두 개를 갖는다. 이 단원은 그 새 수를 들이고, 실수에서 하던 사칙연산이 그대로 되는지 하나씩 확인하는 곳이다.

핵심 사실

• 복소수가 실수를 품는다. $b = 0$ 이면 $a + 0i = a$ 로 실수가 되고, $b \neq 0$ 이면 허수다. 그중 $a = 0$ 인 $bi$ 를 순허수라 한다. 실수는 복소수의 일부이지 복소수와 나란한 것이 아니다.
• 서로 같을 조건: $a + bi = c + di$ 는 $a = c$ 이고 $b = d$ 라는 뜻이다. 등식 하나가 실수 등식 두 개로 갈라지는 것이 복소수 문제의 거의 전부다. 특히 $a + bi = 0$ 이면 $a = 0$ 이고 $b = 0$ 이다.
• 켤레복소수: $z = a + bi$ 의 켤레는 $\bar{z} = a - bi$ 다. 허수부분의 부호만 바꾼다. 실수부분까지 바꾸는 것이 아니다.
• 덧셈과 뺄셈은 실수부분끼리, 허수부분끼리 한다. $(a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$ 로, 문자 $i$ 를 동류항으로 본 것과 같다.
• 곱셈은 전개한 뒤 $i^2$ 만 $-1$ 로 바꾼다.

$$(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

• 켤레끼리의 곱은 언제나 실수다. $z\bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$ 이고, 허수부분이 저절로 지워진다. 나눗셈은 이 사실 하나로 끝난다. 분모와 분자에 분모의 켤레를 곱하면 분모가 실수가 되어 결과를 다시 $a + bi$ 꼴로 적을 수 있다. 근호의 유리화와 같은 수법이다.
• $i$ 의 거듭제곱은 네 값의 되풀이다. $i, -1, -i, 1$ 이 차례로 나오고 네 번째에 $1$ 로 돌아온다. 그래서 $i^{4k+r} = i^r$ 이고, 지수를 $4$ 로 나눈 나머지만 보면 값이 정해진다.
• 음수의 제곱근: $a > 0$ 일 때 $\sqrt{-a} = \sqrt{a}\,i$ 로 적는다. 다만 중3에서 배운 $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$는 $a, b$ 가 양수일 때의 규칙이다. 둘 다 음수이면 부호가 뒤집혀 $\sqrt{a}\sqrt{b} = -\sqrt{ab}$ 다.

세 갈래를 한 자리에 모아 두었습니다. 아래 스테퍼에서 프리셋을 바꿔 가며 확인해 보세요. 첫째는 곱셈과 나눗셈이고, 둘째는 $i$ 의 거듭제곱이 왜 네 번마다 돌아오는지, 셋째는 근호 규칙이 음수에서 왜 뒤집히는지입니다. 셋의 뿌리가 모두 $i^2 = -1$ 한 줄이라는 것을 눈으로 확인하는 것이 이 단원의 목표입니다.

곱셈과 나눗셈: 켤레로 분모를 실수로i 의 거듭제곱: 네 번마다 제자리음수의 제곱근: 부호가 뒤집히는 자리

$$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2$$

분배법칙으로 네 항을 그대로 전개한다. 여기까지는 실수에서 하던 곱셈과 다를 것이 하나도 없다. 새로 생긴 것은 마지막 항의 i² 하나뿐이다.

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