복소평면 판

곱하면 각이 더해지고 길이가 곱해진다

가로가 실수, 세로가 허수인 판 위에 점 z 를 끌어 놓는다. 곱셈 모드에서는 w 를 함께 밀면 곱 zw 가 따라 움직인다. 원점에서 그은 세 선과 세 호가 나란히 서 있어서, 곱의 호가 앞의 두 호를 이어 붙인 크기라는 것과 곱의 선이 두 길이를 곱한 만큼 길다는 것이 한눈에 보인다. w 의 크기를 1 로 맞추면 길이가 안 변하고 각만 늘어난다. 켤레 모드에서는 z 와 켤레가 실수축을 사이에 두고 마주 본다. 편각이 서로 반대라 더하면 한 바퀴가 되고, 그래서 두 수의 곱이 실수축 위에 내려앉는다. 그 값이 크기의 제곱인 a 제곱 더하기 b 제곱이다. 분모의 실수화가 왜 켤레를 곱하는지가 이 한 장면으로 끝난다. 거듭제곱 모드에서는 곱할 수를 i 로 잠근다. 곱한 횟수를 밀면 점이 90도씩 돌고 지나온 자리가 원 위에 남는다. 네 번이면 한 바퀴라 제자리로 오고, 그래서 지수를 4 로 나눈 나머지만 남는다. 값 줄이 그 나눗셈을 그대로 적어 준다. 세 모드가 점 z 를 나눠 쓰기 때문에 끌어 놓은 수가 모드를 옮겨도 그 자리에 있다. 같은 수 하나를 세 방향으로 보는 셈이다. 눈금은 그릴 것이 들어오도록 자동으로 고르고 한 칸이 몇인지는 판 아래에 적는다. 곱은 길이가 곱해져서 한 눈금으로는 담기지 않기 때문이다.