세제곱의 전개
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a = 3 · b = 2 a³ 27a²b 18 이 3 개ab² 12 가 3 개b³ 8 합 125 = 5 × 5 × 5
조각의 부피는 든 쌓기나무를 세고, 모양이 같은지는 세 모서리를 크기순으로 맞대 본다. 비교: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 27 + 54 + 36 + 8 = 125
한 변이 a + b 인 정육면체를 가로 · 세로 · 높이 모두 a 와 b 에서 자르면 여덟 조각이 나온다. a³ 과 b³ 이 하나씩, a × a × b 와 a × b × b 가 세 개씩이다. 세 개는 한 조각이 눕는 방향만 다른 것이라 돌리면 겹친다. 그래서 (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 의 가운데 계수가 3 이다.
세제곱의 전개는 새 공식이 아니라 제곱 공식에 (a+b) 를 한 번 더 곱한 결과다. 가운데 두 항의 계수가 3 인 것도 그 곱셈에서 같은 항이 세 번씩 모이기 때문이다. 3 을 외우는 대신 어디서 모였는지 보는 편이 낫다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- (a+b)³ 을 제곱 공식에서 한 걸음 더 나아가 유도한다
- 가운데 계수 3 이 어디서 모이는지 설명한다
- (a−b)³ 에서 부호가 번갈아 바뀌는 이유를 안다
한 단계씩 유도해 보기
세제곱은 제곱에 한 번 더 곱한 것이다.
1 / 5 단계
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
제곱 공식에 (a+b) 를 한 번 더 곱하면 계수 3 이 모이는 과정이 그대로 보인다.
(a+b)² 을 먼저 적고 거기에 (a+b) 를 곱한다. 30초면 계수 3 두 개가 직접 나온다. 급하면 a = b = 1 로 검산한다. 좌변은 2³ = 8 이고 우변도 1 + 3 + 3 + 1 = 8 이다. (a−b)³ 은 b 의 지수가 홀수인 항만 음수라고 붙잡는다. 첫 항부터 부호가 번갈아 간다.
이런 실수를 조심하세요
- (a+b)³ 을 a³ + b³ 으로 쓰는 경우. 가운데 두 항이 빠졌다
- 가운데 계수를 2 로 쓰는 경우. 제곱의 2ab 와 혼동한 것이다
- (a−b)³ 에서 ab² 항의 부호를 −로 쓰는 경우. b 의 지수가 짝수라 +다
예제
문제. (x + 2)³ 을 전개하시오.
답. x³ + 6x² + 12x + 8
(x+2)³ = x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8 이다.